华东师范大学 2022年数学分析第0题

函数 $f(x)$ 根据 $x$ 是有理数还是无理数采用不同的表达式：当 $x \in \mathbb{Q}$ 时，$f(x)=x(1-x)=x-x^2$；当 $x \notin \mathbb{Q}$ 时，$f(x)=x(1+x)=x+x^2$。

由于有理数和无理数在实数中稠密，函数在 $x_0$ 处连续的必要条件是：有理数分支的极限 $\lim_{x\to x_0, x\in\mathbb{Q}} g(x)$ 与无理数分支的极限 $\lim_{x\to x_0, x\notin\mathbb{Q}} h(x)$ 相等，且等于 $f(x_0)$。计算两个分支的极限：$\lim_{x\to x_0} g(x)=x_0-x_0^2$，$\lim_{x\to x_0} h(x)=x_0+x_0^2$。令两者相等：$x_0-x_0^2=x_0+x_0^2$，解得 $2x_0^2=0$，即 $x_0=0$。因此只有 $x=0$ 可能是连续点。

当 $x\to 0$ 时，对任意 $x$（无论有理数还是无理数），有 $|f(x)-f(0)|=|f(x)|$。若 $x$ 为有理数，$|f(x)|=|x(1-x)|\le |x|+x^2$；若 $x$ 为无理数，$|f(x)|=|x(1+x)|\le |x|+x^2$。由于 $\lim_{x\to 0}(|x|+x^2)=0$，由夹逼准则得 $\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$，故 $x=0$ 处连续。

对于 $x_0\neq 0$，两个分支的极限 $x_0-x_0^2$ 与 $x_0+x_0^2$ 不相等。由于有理数和无理数在 $x_0$ 的任意邻域内都稠密，可以分别取有理数列和无理数列逼近 $x_0$，得到不同的极限值，因此极限 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 不存在，函数在 $x_0\neq 0$ 处不连续。

由于可微必连续，只需在可能的连续点 $x=0$ 处用导数定义判断。计算差商极限：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$。分两种情况：若 $x$ 为有理数，$\frac{f(x)}{x}=\frac{x(1-x)}{x}=1-x\to 1$；若 $x$ 为无理数，$\frac{f(x)}{x}=\frac{x(1+x)}{x}=1+x\to 1$。两个子列的极限均为 $1$，故导数存在且为 $1$。

函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处连续，且在该点可微，导数为 $1$；在其他任意点 $x\neq 0$ 处，函数不连续，因而也不可微。

函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处可微，且 $f'(0)=1$。在其他点处由于不连续，故不可微。