华东师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3．求不定积分
$$
\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察被积函数结构，进行有理分式拆分
被积函数为 \(\frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)}\)，分母可拆分为 \(\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}\)。验证：\(\frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - x^2}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2(1+x^2)}\)。因此原积分化为：
\[
\int \frac{\arctan x}{x^2} \, dx - \int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx
\]
公式：\frac{1}{x^2(1+x^2)} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1+x^2}
提示：拆分有理分式时，注意检查恒等式是否成立，避免符号错误。
步骤 2/5
目标：计算第二个积分 \(\int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx\)
令 \(u = \arctan x\)，则 \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\)，积分变为：
\[
\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C_1 = \frac{(\arctan x)^2}{2} + C_1
\]
公式：\int \frac{\arctan x}{1+x^2} \, dx = \frac{(\arctan x)^2}{2} + C
提示：注意换元后积分变量变化，不要遗漏常数项。
步骤 3/5
目标：计算第一个积分 \(\int \frac{\arctan x}{x^2} \, dx\) 使用分部积分
设 \(u = \arctan x\)，\(dv = \frac{1}{x^2} dx\)，则 \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\)，\(v = -\frac{1}{x}\)。由分部积分公式 \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\) 得：
\[
\int \frac{\arctan x}{x^2} \, dx = -\frac{\arctan x}{x} - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx = -\frac{\arctan x}{x} + \int \frac{1}{x(1+x^2)} \, dx
\]
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：分部积分时，注意 \(v\) 的符号，以及后续积分中负号的处理。
步骤 4/5
目标：计算剩余积分 \(\int \frac{1}{x(1+x^2)} \, dx\)
再次拆分：\(\frac{1}{x(1+x^2)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}\)。积分得：
\[
\int \frac{1}{x} \, dx - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C_2
\]
也可写为 \(\ln \frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}} + C_2\)。
公式：\int \frac{1}{x(1+x^2)} \, dx = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C
提示：拆分时注意 \(\frac{x}{1+x^2}\) 的积分需用凑微分，系数 \(\frac{1}{2}\) 不要遗漏。
步骤 5/5
目标：合并所有部分得到最终结果
第一个积分结果为：
\[
\int \frac{\arctan x}{x^2} \, dx = -\frac{\arctan x}{x} + \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C_2
\]
减去第二个积分结果 \(\frac{(\arctan x)^2}{2}\)，得：
\[
\int \frac{\arctan x}{x^2(1+x^2)} \, dx = -\frac{\arctan x}{x} + \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) - \frac{(\arctan x)^2}{2} + C
\]
整理为紧凑形式：
\[
-\frac{\arctan x}{x} - \frac{1}{2}(\arctan x)^2 + \ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}} + C
\]
公式：\boxed{-\frac{\arctan x}{x} - \frac{1}{2}(\arctan x)^2 + \ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}} + C}
提示：合并常数项时，所有常数合并为一个 \(C\)；注意对数项中绝对值的使用。
步骤 6/6
目标：合并结果
将各部分结果合并：
$$\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x = -\frac{\arctan x}{x} + \left( \ln|x| - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right) - \frac{1}{2}(\arctan x)^2 + C.$$
整理得：
$$-\frac{\arctan x}{x} + \ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}} - \frac{1}{2}(\arctan x)^2 + C.$$
提示：注意对数合并时，$\ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) = \ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}$。
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