华东师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
6．（1）．证明：当 $x>0$ 时，
$$
\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明右边不等式：ln(1+x) < x
考虑函数 f(x) = x - ln(1+x)，当 x>0 时，求导得 f'(x) = 1 - 1/(1+x) = x/(1+x) > 0，因此 f(x) 在 (0, +∞) 上严格递增。又 f(0)=0，所以当 x>0 时，f(x) > 0，即 x > ln(1+x)。
公式：f'(x) = \frac{x}{1+x} > 0, \quad f(0)=0
提示：注意定义域 x>0，且 f(0)=0 是确定单调性后比较的关键。
步骤 2/5
目标：证明左边不等式：x/(1+x) < ln(1+x)
考虑函数 g(x) = ln(1+x) - x/(1+x)，求导得 g'(x) = 1/(1+x) - 1/(1+x)^2 = x/(1+x)^2 > 0，因此 g(x) 在 (0, +∞) 上严格递增。又 g(0)=0，所以当 x>0 时，g(x) > 0，即 ln(1+x) > x/(1+x)。
公式：g'(x) = \frac{x}{(1+x)^2} > 0, \quad g(0)=0
提示：构造差函数是证明不等式的基本方法，注意求导的准确性。
步骤 3/5
目标：证明数列 {a_n} 单调递减
计算相邻项差：a_{n+1} - a_n = 1/(n+1) - [ln(n+1) - ln n] = 1/(n+1) - ln(1+1/n)。由第一问的不等式，取 x=1/n，有 ln(1+1/n) > 1/(n+1)，因此 a_{n+1} - a_n < 0，故数列严格递减。
公式：a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < 0
提示：利用第一问的不等式时，注意将 x 替换为 1/n，并正确使用左边不等式。
步骤 4/5
目标：证明数列 {a_n} 有下界
由第一问右边不等式，对 k=1,2,...,n，有 1/k > ln(1+1/k)。两边求和得：∑_{k=1}^n 1/k > ∑_{k=1}^n ln(1+1/k) = ln(n+1)。因此 a_n = ∑_{k=1}^n 1/k - ln n > ln(n+1) - ln n = ln(1+1/n) > 0，故数列有下界 0。
公式：\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \ln(n+1) \Rightarrow a_n > \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) > 0
提示：求和时注意对数项相消，得到 ln(n+1) 而不是 ln n，这是下界估计的关键。
步骤 5/5
目标：由单调有界定理得出数列收敛
数列 {a_n} 单调递减且有下界（下界为 0），根据单调有界定理，数列收敛。其极限称为欧拉常数 γ。
公式：\lim_{n \to \infty} a_n = \gamma \quad (\text{欧拉常数})
提示：单调有界定理是判断数列收敛的常用方法，注意验证单调性和有界性两个条件。
步骤 6/6
目标：应用单调有界准则
数列 $\{a_n\}$ 单调递减且有下界（例如0），由单调有界准则知 $\{a_n\}$ 收敛。其极限称为欧拉常数 $\gamma$。
提示：单调递减有下界则收敛，注意下界不一定是极限，但存在极限。
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