华东师范大学 2022年数学分析第0题

已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续、非负且严格递增。对于每个正整数 $n$，存在 $x_n \in [a, b]$ 使得 $f^n(x_n) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f^n(x) \, dx$，其中 $f^n(x)$ 表示 $[f(x)]^n$。由于 $f$ 严格递增且非负连续，$f^n(x)$ 也是严格递增且连续的。

因为 $f^n(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，由积分中值定理（平均值定理），存在 $x_n \in [a,b]$ 使得 $f^n(x_n) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f^n(x) \, dx$。所以条件中的存在性是自然的，我们需研究 $x_n$ 的取值趋势。

由于 $f$ 严格递增，$f^n(x)$ 也严格递增，故在 $[a,b]$ 上 $f^n(a) \le f^n(x) \le f^n(b)$。积分得 $f^n(a) \le \frac{1}{b-a} \int_a^b f^n(x) \, dx \le f^n(b)$，即 $f^n(a) \le f^n(x_n) \le f^n(b)$。由 $f^n$ 严格递增，推出 $a \le x_n \le b$，所以 $\{x_n\}$ 有界。

记 $M = f(b)$，$m = f(a)$，由严格递增知 $0 \le m < M$。对任意 $c \in (a,b)$，有 $f(c) < M$。将积分拆分为 $[a,c]$ 和 $[c,b]$ 两部分： $$\int_a^b f^n(x) \, dx = \int_a^c f^n(x) \, dx + \int_c^b f^n(x) \, dx.$$ 第一部分有上界 $(c-a)[f(c)]^n$，第二部分有下界 $(b-c)[f(c)]^n$。更关键的是，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得在 $[b-\delta, b]$ 上 $f(x) > M-\varepsilon$，从而 $$\int_{b-\delta}^b f^n(x) \, dx \ge \delta (M-\varepsilon)^n.$$

对任意固定的 $c < b$，考虑比值 $\frac{\frac{1}{b-a}\int_a^b f^n(x) \, dx}{f^n(c)}$。由于 $f(c) < M$，当 $n \to \infty$ 时，$[f(c)/M]^n \to 0$，而积分中靠近 $b$ 的部分贡献了至少 $\delta (M-\varepsilon)^n$，因此该比值趋于无穷大。故存在 $N$，当 $n > N$ 时，平均值 $> f^n(c)$。若 $x_n \le c$，则 $f^n(x_n) \le f^n(c)$，与平均值等于 $f^n(x_n)$ 矛盾。因此 $x_n > c$ 对所有 $n > N$ 成立，即 $x_n \to b$。

由以上推理，数列 $\{x_n\}$ 收敛，且极限为 $b$。