华东师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2．判断极限
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x+y-1}-1}
$$
的存在性，若存在，给出证明过程，若不存在，说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数的定义域
函数为 $\frac{x y}{\sqrt{x+y-1}-1}$。根号内要求 $x+y-1 \ge 0$，即 $x+y \ge 1$。分母不能为零，即 $\sqrt{x+y-1}-1 \neq 0$，即 $x+y-1 \neq 1$，也就是 $x+y \neq 2$。但主要限制是 $x+y \ge 1$。点 $(0,0)$ 满足 $0+0=0<1$，因此不在定义域内。
公式：$x+y \ge 1$
提示：注意根号内的非负性要求，这是定义域的关键约束。
步骤 2/4
目标：考察原点附近函数是否有定义
在 $(0,0)$ 的任意去心邻域内，存在点 $(x,y)$ 使得 $x+y<1$（例如取 $x=0, y=0.5$），此时 $x+y-1<0$，根号内为负数，函数无定义。因此无法沿着所有趋近于 $(0,0)$ 的路径讨论极限。
公式：无
提示：多元极限要求函数在去心邻域内处处有定义，否则极限不存在。
步骤 3/4
目标：考虑一条有定义的路径
取路径 $y = 1 - x$，则 $x+y=1$，分母为 $\sqrt{1-1}-1 = -1$，分子为 $x(1-x)$。当 $x \to 0$ 时，函数值趋于 $0$。但这条路径上函数有定义，不能代表所有路径。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{x(1-x)}{-1} = 0$
提示：即使沿某条路径极限存在，也不能说明整体极限存在。
步骤 4/4
目标：判断极限存在性
由于在 $(0,0)$ 的任何去心邻域内，都存在使函数无定义的点（例如 $x+y<1$ 的区域），不满足多元极限定义中“函数在去心邻域内处处有定义”的前提条件，因此极限不存在。
公式：无
提示：极限存在的必要条件：存在一个去心邻域，使得函数在该邻域内处处有定义。
步骤 5/5
目标：结论
综上所述，函数 $\frac{xy}{\sqrt{x+y-1}-1}$ 在 $(0,0)$ 的任何去心邻域内并非处处有定义，因此极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x+y-1}-1}$ 不存在。
公式：无
提示：不要试图用路径法或洛必达法则，因为函数根本不在邻域内处处定义。
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