华东师范大学 2023年数学分析第0题

当x→0⁺时，有等价无穷小： - 分母：$\sin x \sim x$，故 $\sqrt{\sin x} \sim \sqrt{x}$。 - 分子第一项：$1 - e^{-x} \sim x$，故 $\sqrt{1 - e^{-x}} \sim \sqrt{x}$。 - 分子第二项：$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，故 $\sqrt{1 - \cos x} \sim \frac{x}{\sqrt{2}}$。

分子第一项的主项是 $\sqrt{x}$，第二项的主项是 $\frac{x}{\sqrt{2}}$。当x→0⁺时，$\sqrt{x}$ 远大于 $x$（例如 $x=0.0001$，$\sqrt{x}=0.01$），因此分子中第一项占主导，但两者相减，需确认是否抵消。

将 $1-e^{-x}$ 展开到 $x^2$ 项：$1-e^{-x} = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$。 于是 $\sqrt{1-e^{-x}} = \sqrt{x}\sqrt{1 - \frac{x}{2} + O(x^2)}$。 利用 $\sqrt{1+u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + O(u^3)$，其中 $u = -\frac{x}{2} + O(x^2)$，得： $\sqrt{1-e^{-x}} = \sqrt{x}\left(1 - \frac{x}{4} + O(x^2)\right)$。

将 $1-\cos x$ 展开：$1-\cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)$。 于是 $\sqrt{1-\cos x} = \frac{x}{\sqrt{2}}\sqrt{1 - \frac{x^2}{12} + O(x^4)} = \frac{x}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{x^2}{24} + O(x^4)\right)$。

分子 = $\sqrt{x}\left(1 - \frac{x}{4} + O(x^2)\right) - \frac{x}{\sqrt{2}}\left(1 + O(x^2)\right)$ = $\sqrt{x} - \frac{x}{4}\sqrt{x} - \frac{x}{\sqrt{2}} + \text{高阶项}$。 由于 $\frac{x}{4}\sqrt{x} = O(x^{3/2})$，$\frac{x}{\sqrt{2}} = O(x)$，而 $\sqrt{x}$ 是 $O(x^{1/2})$，因此分子主项为 $\sqrt{x}$，没有抵消。

分母 $\sqrt{\sin x} \sim \sqrt{x}$，分子 $\sim \sqrt{x}$，因此 $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1.$$