📝 华东师范大学 2023年数学分析真题

一．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$ ．

七．证明含参变量积分 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle 0 \leq \alpha_{0} \leq \alpha<+\infty$ 上一致收敛，并说明在 $\displaystyle 0<\alpha<+\infty$ 是否一致收敛？

三．计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+3)}{2^{n}}$ ．

九．给出函数 $\displaystyle f(x)=2[x]-[2 x]$ 的最小正周期并证明．

二．计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．

五．设立体区域 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle y o z$ 面曲线 $\displaystyle y^{2}+z^{4}-4 z^{2}=0, z \geq 0$ ，绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面和 $\displaystyle x o y$平面所围成的，点 $\displaystyle (x, y, z) \in \Omega$ 处的密度为 $\displaystyle u(x, y, z)=z$ ，求重心坐标．

八．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，且满足 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)<0<f_{-}^{\prime}(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．

六．设 $\displaystyle a>1$ ，且 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{a}, & x \text { 为有理数 } \\ 0, & x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 的可微性．

十．设 $\displaystyle \alpha>0$ ，若 $\displaystyle n x_{n}=1+o\left(n^{-\alpha}\right)$ ，则数列 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-\ln n$ 收敛．
十一。设一元函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且存在两个正数 $\displaystyle A<B$ 满足 $\displaystyle A<\left|f^{\prime}(x)\right|<B$ ，证明： $\displaystyle f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上一致连续，但 $\displaystyle f\left(x^{3}+y^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上不一致连续．

十二．若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left(2-a_{n}\right) a_{n+1}=1$ ，证明：
（a）存在正整数 $k$ ；使得 $\displaystyle a_{k} \leq 1$ ；
（b）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 极限存在，并求其极限值；
（c）若 $\displaystyle a_{1} \neq 1$ ，则 $\displaystyle a_{n}(n=1,2, \cdots)$ 两两不等；
（d）满足题设且 $\displaystyle a_{1} \neq 1$ 的数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 存在．

四．设 D 是由 $\displaystyle y=x^{3}, y=-c^{3}, x=-c(c \neq 0)$ 围成的积分区域，且 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，求二重积分 $\displaystyle \iint_{D} y(1+f(1+|\sin x|+\cos y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．