华东师范大学 2023年数学分析第0题

对于含参变量积分 \(\int_{0}^{\infty} f(x,\alpha)\,dx\)，在参数集合上一致收敛是指：对任意 \(\varepsilon>0\)，存在与 \(\alpha\) 无关的 \(A>0\)，使得对所有 \(b>A\) 和所有该集合中的 \(\alpha\)，都有 \(\left|\int_{b}^{\infty} f(x,\alpha)\,dx\right|<\varepsilon\)。

给定固定的 \(\alpha_0>0\)，对于任意 \(\alpha\geq\alpha_0\)，有 \(e^{-\alpha x^2}\leq e^{-\alpha_0 x^2}\)。由于 \(\int_0^\infty e^{-\alpha_0 x^2}dx\) 收敛（高斯积分值为 \(\frac12\sqrt{\frac{\pi}{\alpha_0}}\)），由 Weierstrass 判别法，原积分在 \(\alpha\geq\alpha_0\) 上一致收敛。更严格地，对任意 \(\varepsilon>0\)，取 \(A\) 足够大使得 \(\int_A^\infty e^{-\alpha_0 x^2}dx<\varepsilon\)，则对所有 \(\alpha\geq\alpha_0\)，有 \(\int_A^\infty e^{-\alpha x^2}dx\leq\int_A^\infty e^{-\alpha_0 x^2}dx<\varepsilon\)。

考虑 \(\alpha\) 可以任意接近 0 的情况。取 \(\varepsilon=1\)，假设存在与 \(\alpha\) 无关的 \(A\) 使得对所有 \(\alpha>0\) 有 \(\int_A^\infty e^{-\alpha x^2}dx<1\)。但取 \(\alpha=1/(2A^2)\)，则当 \(x\geq A\) 时，\(\alpha x^2\leq 1/2\)，于是 \(\int_A^\infty e^{-\alpha x^2}dx\geq\int_A^\infty e^{-1/2}dx=+\infty\)，矛盾。因此不存在这样的 \(A\)，积分在 \(0<\alpha<+\infty\) 上不一致收敛。

由以上分析可知：当 \(\alpha\) 有正下界 \(\alpha_0>0\) 时，积分一致收敛；当 \(\alpha\) 在开区间 \((0,+\infty)\) 上变化时，由于 \(\alpha\) 可以趋近于0，积分不一致收敛。

该积分在 $[\alpha_0,+\infty)$（$\alpha_0>0$）上一致收敛，但在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。