华东师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
五．设立体区域 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle y o z$ 面曲线 $\displaystyle y^{2}+z^{4}-4 z^{2}=0, z \geq 0$ ，绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面和 $\displaystyle x o y$平面所围成的，点 $\displaystyle (x, y, z) \in \Omega$ 处的密度为 $\displaystyle u(x, y, z)=z$ ，求重心坐标．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解区域 Ω 的几何形状
题目给出 yOz 平面上的曲线方程：
\[
y^{2}+z^{4}-4z^{2}=0,\quad z\ge 0
\]
可以改写为：
\[
y^{2} = 4z^{2} - z^{4} = z^{2}(4 - z^{2})
\]
因为 z ≥ 0，所以这里隐含了 \(4 - z^{2} \ge 0\)，即 \(0 \le z \le 2\)。
该曲线绕 z 轴旋转一周，就得到一个旋转体。在三维空间中，对于固定的 z，截面是一个圆，半径 r(z) 满足：
\[
r^{2}(z) = y^{2} = z^{2}(4 - z^{2})
\]
所以旋转体 Ω 是由这个曲面和底面（xOy 平面，即 z=0）围成，z 的范围从 0 到 2。
公式：r(z) = z\sqrt{4-z^{2}},\quad 0\le z\le 2
提示：注意曲线方程中 z≥0 的条件，以及由 y²≥0 自然推出的 z 范围 0≤z≤2。
步骤 2/5
目标：建立重心公式并利用对称性简化
密度函数为 \(u(x,y,z)=z\)，只依赖于 z，且区域旋转对称，所以重心必然在 z 轴上，即 \(\bar{x}=0,\ \bar{y}=0\)，我们只需要求 \(\bar{z}\)。
重心坐标公式（对连续体）：
\[
\bar{z} = \frac{\iiint_{\Omega} z \cdot u(x,y,z)\,dV}{\iiint_{\Omega} u(x,y,z)\,dV}
\]
这里 \(u=z\)，所以分子是 \(\iiint z^{2}\,dV\)，分母是 \(\iiint z\,dV\)。
公式：\bar{z} = \frac{\iiint_{\Omega} z^{2}\,dV}{\iiint_{\Omega} z\,dV}
提示：由于密度和区域都关于 z 轴对称，可直接得出 x、y 方向重心为 0，减少计算量。
步骤 3/5
目标：用柱坐标计算分母积分
采用柱坐标 \((r,\theta,z)\)，其中 \(x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta\)，体积元 \(dV = r\,dr\,d\theta\,dz\)。
对于每个固定的 z，r 从 0 到 \(r(z)=z\sqrt{4-z^{2}}\)，θ 从 0 到 \(2\pi\)。
分母：
\[
I_1 = \iiint_{\Omega} z\,dV
= \int_{z=0}^{2} \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{z\sqrt{4-z^{2}}} z \cdot r\, dr\, d\theta\, dz
\]
先对 r 积分：
\[
\int_{0}^{z\sqrt{4-z^{2}}} r\, dr = \frac{1}{2}\left(z\sqrt{4-z^{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} z^{2} (4-z^{2})
\]
再对 θ 积分得 \(2\pi\)，于是：
\[
I_1 = \int_{0}^{2} z \cdot 2\pi \cdot \frac12 z^{2}(4-z^{2})\, dz
= \pi \int_{0}^{2} z^{3} (4 - z^{2})\, dz
\]
计算：
\[
\int_{0}^{2} (4z^{3} - z^{5})\, dz
= \left[ z^{4} - \frac{z^{6}}{6} \right]_{0}^{2}
= 16 - \frac{64}{6} = 16 - \frac{32}{3} = \frac{16}{3}
\]
所以：
\[
I_1 = \pi \cdot \frac{16}{3} = \frac{16\pi}{3}
\]
公式：I_1 = \pi \int_{0}^{2} z^{3}(4-z^{2})\,dz = \frac{16\pi}{3}
提示：注意柱坐标中体积元是 r dr dθ dz，不要遗漏 r 因子。
步骤 4/5
目标：用柱坐标计算分子积分
分子为：
\[
I_2 = \iiint_{\Omega} z^{2}\,dV
= \int_{0}^{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{z\sqrt{4-z^{2}}} z^{2} \cdot r\, dr\, d\theta\, dz
\]
先对 r 积分同样得到 \(\frac12 z^{2}(4-z^{2})\)，再乘上 \(z^{2}\) 和 \(2\pi\)：
\[
I_2 = \int_{0}^{2} z^{2} \cdot 2\pi \cdot \frac12 z^{2}(4-z^{2})\, dz
= \pi \int_{0}^{2} z^{4} (4 - z^{2})\, dz
\]
计算：
\[
\int_{0}^{2} (4z^{4} - z^{6})\, dz
= \left[ \frac{4}{5}z^{5} - \frac{1}{7}z^{7} \right]_{0}^{2}
= \frac{4}{5}\cdot 32 - \frac{1}{7}\cdot 128
= \frac{128}{5} - \frac{128}{7}
= 128\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right)
= 128\cdot \frac{2}{35} = \frac{256}{35}
\]
所以：
\[
I_2 = \pi \cdot \frac{256}{35} = \frac{256\pi}{35}
\]
公式：I_2 = \pi \int_{0}^{2} z^{4}(4-z^{2})\,dz = \frac{256\pi}{35}
提示：分子与分母的积分结构类似，注意幂次变化，计算定积分时小心分数运算。
步骤 5/5
目标：计算重心高度并给出最终答案
重心高度：
\[
\bar{z} = \frac{I_2}{I_1} = \frac{\frac{256\pi}{35}}{\frac{16\pi}{3}}
= \frac{256}{35} \cdot \frac{3}{16}
= \frac{256 \cdot 3}{35 \cdot 16}
= \frac{16 \cdot 3}{35} = \frac{48}{35}
\]
由于对称性，\(\bar{x}=0,\ \bar{y}=0\)。
因此重心坐标为：
\[
\boxed{\left(0,\ 0,\ \frac{48}{35}\right)}
\]
公式：\bar{z} = \frac{48}{35}
提示：最终结果约分时注意分子分母的公因子，确保化简彻底。
步骤 6/6
目标：给出最终重心坐标
结合对称性，重心坐标为 $(0, 0, \frac{48}{35})$。
公式：\boxed{(0,0,\frac{48}{35})}
提示：最终答案需明确写出三个坐标分量。
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