华东师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
三．计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+3)}{2^{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：拆分通项，化为两个标准级数之和
将分子展开：$n(n+3) = n^2 + 3n$，则原级数可写为：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+3)}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} + 3 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$$
公式：$n(n+3)=n^2+3n$
提示：注意拆分后两个级数分别收敛，才能分别求和再相加。
步骤 2/6
目标：回忆并推导 $\sum n x^n$ 的公式
已知等比级数公式：$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$（$|x|<1$）。两边对 $x$ 求导得：$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$，两边乘以 $x$ 得：
$$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$$
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$
提示：求导时注意下标从 $n=1$ 开始，且 $x=0$ 时级数也为0。
步骤 3/6
目标：推导 $\sum n^2 x^n$ 的公式
对 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$ 两边关于 $x$ 求导：左边得 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1}$，右边求导得 $\frac{(1-x)^2 + 2x(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{1+x}{(1-x)^3}$，因此
$$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{1+x}{(1-x)^3}$$
两边乘以 $x$ 得：
$$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$$
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$
提示：求导时注意使用商的导数法则，并化简分子。
步骤 4/6
目标：代入 $x = \frac12$ 计算 $\sum n/2^n$
由 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}$，令 $x = \frac12$ 得：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{\frac12}{(1-\frac12)^2} = \frac{1/2}{(1/2)^2} = \frac{1/2}{1/4} = 2$$
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = 2$
提示：计算分母时注意 $(1/2)^2 = 1/4$，不要算错。
步骤 5/6
目标：代入 $x = \frac12$ 计算 $\sum n^2/2^n$
由 $\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}$，令 $x = \frac12$ 得：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = \frac{\frac12 \cdot (1+\frac12)}{(1-\frac12)^3} = \frac{\frac12 \cdot \frac32}{(\frac12)^3} = \frac{3/4}{1/8} = \frac{3}{4} \times 8 = 6$$
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = 6$
提示：注意 $(1/2)^3 = 1/8$，分数除法要转化为乘法。
步骤 6/6
目标：合并结果得到原级数的和
原级数 $= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} + 3 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = 6 + 3 \times 2 = 6 + 6 = 12$
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+3)}{2^n} = 12$
提示：最后一步加法不要遗漏系数3。
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