华东师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
十二．若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left(2-a_{n}\right) a_{n+1}=1$ ，证明：
（a）存在正整数 $k$ ；使得 $\displaystyle a_{k} \leq 1$ ；
（b）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 极限存在，并求其极限值；
（c）若 $\displaystyle a_{1} \neq 1$ ，则 $\displaystyle a_{n}(n=1,2, \cdots)$ 两两不等；
（d）满足题设且 $\displaystyle a_{1} \neq 1$ 的数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 存在．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：改写递推关系并分析定义域
由题设 $(2-a_n)a_{n+1}=1$，当 $a_n \neq 2$ 时，可改写为 $a_{n+1} = \dfrac{1}{2-a_n}$。该递推式定义了一个数列，需注意分母不为零。
公式：a_{n+1} = \frac{1}{2-a_n}
提示：注意 $a_n=2$ 时递推无定义，因此数列中不能出现 $2$。
步骤 2/5
目标：证明存在正整数 $k$ 使得 $a_k \le 1$
假设对所有 $n$ 都有 $a_n > 1$。若存在 $a_n \ge 2$，则 $2-a_n \le 0$，于是 $a_{n+1} = \frac{1}{2-a_n} \le 0 < 1$，矛盾。故所有 $a_n$ 必在 $(1,2)$ 内。此时由 $a_{n+1} - a_n = \frac{(a_n-1)^2}{2-a_n} > 0$ 知数列严格递增。但递增且有上界 $2$ 时极限 $L$ 应满足 $L = \frac{1}{2-L}$，解得 $L=1$，这与 $a_n>1$ 矛盾。因此假设不成立，必存在某个 $k$ 使 $a_k \le 1$。
公式：a_{n+1} - a_n = \frac{(a_n-1)^2}{2-a_n}
提示：注意反证法中要分情况讨论 $a_n$ 是否可能大于等于 $2$。
步骤 3/5
目标：证明数列极限存在并求极限值
由 (a) 知存在 $k$ 使 $a_k \le 1$。若 $a_k = 1$，则 $a_{k+1}=1$，数列恒为 $1$，极限为 $1$。若 $a_k < 1$，则 $2-a_k > 1$，故 $a_{k+1} = \frac{1}{2-a_k} < 1$，且 $a_{k+1} - a_k = \frac{(a_k-1)^2}{2-a_k} > 0$，所以数列从第 $k$ 项起单调递增且有上界 $1$，从而收敛。设极限为 $L$，则 $L = \frac{1}{2-L}$，解得 $L=1$。若 $a_k > 1$ 但 $a_{k+1} \le 1$，则从 $a_{k+1}$ 开始同样单调递增趋于 $1$。故极限总为 $1$。
公式：L = \frac{1}{2-L} \Rightarrow L=1
提示：注意单调性判断时需结合 $a_n$ 与 $1$ 的大小关系。
步骤 4/5
目标：证明若 $a_1 \neq 1$，则所有项两两不等
假设存在 $m
公式：f(x)=\frac{1}{2-x},\quad x=\frac{1}{2-x} \Rightarrow x=1
提示：注意分式线性变换的周期性结论：若迭代出现周期，则周期点必为不动点。
步骤 5/5
目标：证明满足题设且 $a_1 \neq 1$ 的数列存在
构造一个具体数列即可。取 $a_1 = 3$，则 $a_2 = \frac{1}{2-3} = -1$，$a_3 = \frac{1}{2-(-1)} = \frac{1}{3}$，$a_4 = \frac{1}{2-\frac{1}{3}} = \frac{3}{5}$，等等。该数列满足递推关系，$a_1 \neq 1$，且所有项均不为 $1$（极限为 $1$ 但不等于 $1$），因此存在。
公式：a_1=3 \Rightarrow a_2=-1,\ a_3=\frac13,\ a_4=\frac35,\ldots
提示：构造时注意避免分母为零，例如 $a_1$ 不能取 $2$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。