华东师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
八．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，且满足 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)<0<f_{-}^{\prime}(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件
已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可导，因此 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内每一点可导。且给出两个单侧导数的符号条件：$f'_+(a) < 0$ 和 $f'_-(b) > 0$。
公式：$f'_+(a) = \lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} < 0$，$f'_-(b) = \lim_{x \to b^-} \frac{f(b)-f(x)}{b-x} > 0$
提示：注意单侧导数存在且有限，这是由可导性保证的。
步骤 2/6
目标：由左端点导数符号推断局部函数值变化
由 $f'_+(a) < 0$ 及极限的保号性，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $x \in (a, a+\delta_1)$ 时，有 $\frac{f(x)-f(a)}{x-a} < 0$。由于 $x-a > 0$，可得 $f(x) < f(a)$。因此 $a$ 不是最小值点，因为其右侧存在更小的函数值。
公式：$\frac{f(x)-f(a)}{x-a} < 0 \Rightarrow f(x) < f(a)$
提示：注意分母为正，不等式方向不变。
步骤 3/6
目标：由右端点导数符号推断局部函数值变化
由 $f'_-(b) > 0$ 及极限的保号性，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $x \in (b-\delta_2, b)$ 时，有 $\frac{f(b)-f(x)}{b-x} > 0$。由于 $b-x > 0$，可得 $f(b) > f(x)$。因此 $b$ 不是最小值点，因为其左侧存在更小的函数值。
公式：$\frac{f(b)-f(x)}{b-x} > 0 \Rightarrow f(b) > f(x)$
提示：注意这里比较的是 $f(b)$ 与 $f(x)$，得出 $f(x) < f(b)$。
步骤 4/6
目标：应用闭区间上连续函数的最值定理
由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，根据最值定理，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必能取到最小值。由前两步可知，最小值不可能在端点 $a$ 或 $b$ 处取得，因此最小值点必在开区间 $(a,b)$ 内部。设该最小值点为 $\xi \in (a,b)$。
公式：最值定理：闭区间上连续函数必能取到最大值和最小值。
提示：注意排除端点后，内部点必然存在。
步骤 5/6
目标：利用费马定理得到导数为零
因为 $\xi$ 是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值点，且 $\xi \in (a,b)$，所以 $f(x)$ 在 $\xi$ 处可导并取得极小值。由费马定理（Fermat's theorem），可导函数在内部极值点处的导数为零，即 $f'(\xi) = 0$。
公式：费马定理：若 $f$ 在 $x_0$ 处可导且 $x_0$ 是极值点，则 $f'(x_0)=0$。
提示：费马定理要求极值点必须在区间内部且函数在该点可导，这里条件均满足。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。命题得证。
公式：$\exists \xi \in (a,b), \; f'(\xi)=0$
提示：本题本质是导数的介值性（达布定理）的特例，但用极值方法更直接。
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