华东师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
九．给出函数 $\displaystyle f(x)=2[x]-[2 x]$ 的最小正周期并证明．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解函数形式并引入小数部分表示
设 $x$ 为任意实数，将其表示为 $x = n + t$，其中 $n \in \mathbb{Z}$，$0 \le t < 1$，$t$ 是 $x$ 的小数部分。则 $[x] = n$，$[2x] = [2n + 2t] = 2n + [2t]$。代入函数得 $f(x) = 2n - (2n + [2t]) = -[2t]$。因此函数值只依赖于小数部分 $t$。
公式：$f(x) = -[2t]$，其中 $t = \{x\}$
提示：注意 $[2n+2t] = 2n + [2t]$ 是因为 $2n$ 是整数，取整时可直接分离。
步骤 2/4
目标：分段化简函数表达式
根据 $t$ 的范围讨论 $[2t]$ 的值：当 $0 \le t < 0.5$ 时，$2t \in [0,1)$，$[2t] = 0$，故 $f(x) = 0$；当 $0.5 \le t < 1$ 时，$2t \in [1,2)$，$[2t] = 1$，故 $f(x) = -1$。因此 $f(x) = \begin{cases} 0, & \text{如果 } \{x\} \in [0, 0.5) \\ -1, & \text{如果 } \{x\} \in [0.5, 1) \end{cases}$。
公式：$f(x) = \begin{cases} 0, & \{x\} \in [0,0.5) \\ -1, & \{x\} \in [0.5,1) \end{cases}$
提示：注意边界点 $t=0.5$ 属于第二个区间，因为 $[1]=1$。
步骤 3/4
目标：寻找周期并验证1是周期
由于函数只依赖于小数部分，而加1不改变小数部分，即 $\{x+1\} = \{x\}$，所以对任意 $x$ 有 $f(x+1) = f(x)$，故 $1$ 是一个周期。
公式：$f(x+1) = f(x)$
提示：整数平移不改变小数部分，这是取整函数周期性的常见思路。
步骤 4/4
目标：证明1是最小正周期（反证法）
假设存在正周期 $p < 1$。取 $x=0$，则 $f(0)=0$，由周期性得 $f(p)=0$，故 $\{p\} \in [0,0.5)$，即 $p \in (0,0.5)$。再取 $x = 0.5 - p$，由于 $0 < 0.5-p < 0.5$，所以 $f(0.5-p)=0$。但 $f(0.5-p + p) = f(0.5) = -1$，与周期性矛盾。因此不存在小于1的正周期，最小正周期为1。
公式：无
提示：反证法构造特殊点 $x=0.5-p$ 是关键，注意 $0.5-p$ 的范围确保其函数值为0。
步骤 5/5
目标：总结并给出最终答案
通过以上步骤，我们验证了1是函数 $f(x)=2[x]-[2x]$ 的一个周期，并且证明了任何小于1的正数都不能成为周期，因此最小正周期为1。
公式：最小正周期 $T=1$
提示：证明最小正周期需要两步：先证明某数是周期，再证明没有更小的正周期。
步骤 6/8
目标：由x=0.125继续导出矛盾
取 $x=0.125$，计算 $f(0.125)=2[0.125]-[0.25]=0-0=0$。
考虑 $f(0.125+T)$，其中 $00$，则存在 $n$ 使得 $2^n T \ge 1$，从而取 $x=1/2^{n+1}$ 可导出矛盾。
提示：此步说明需要更一般的论证，但原题解答中已通过 $x=0.25$ 和 $x=0$ 完成证明。实际上，$x=0$ 已排除 $T\ge 0.5$，$x=0.25$ 排除 $T\ge 0.25$，但 $T<0.25$ 尚未排除。需进一步取 $x=0.125$ 排除 $T\ge 0.125$，依此类推，最终排除所有 $T>0$。
步骤 7/8
目标：归纳证明不存在小于1的正周期
由上述推理，若存在周期 $T$ 满足 $0
提示：此归纳过程利用了取整函数的跳跃性质，通过二分法不断缩小 $T$ 的范围。
步骤 8/8
目标：结论
综上，$1$ 是 $f(x)$ 的周期，且任何小于 $1$ 的正数都不是周期，故最小正周期为 $1$。
提示：注意：周期函数不一定有最小正周期，但本题存在。
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