华东师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
六．设 $\displaystyle a>1$ ，且 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{a}, & x \text { 为有理数 } \\ 0, & x \text { 为无理数 }\end{array}\right.$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 的可微性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数定义与参数条件
函数定义为：
$$f(x)=\begin{cases} x^a, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$
其中参数 $a>1$。该函数在有理数点取 $x^a$，在无理数点取 $0$。
公式：f(x)=\begin{cases} x^a, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}
提示：注意 $a>1$ 是重要条件，后续极限计算会用到 $a-1>0$。
步骤 2/5
目标：分析连续性，找出可能的连续点
可导必连续，因此先讨论连续性。
- 若 $x_0 \neq 0$ 且 $x_0 \in \mathbb{Q}$，则在任意邻域内有无理数使 $f=0$，而 $f(x_0)=x_0^a \neq 0$，故不连续。
- 若 $x_0 \neq 0$ 且 $x_0 \notin \mathbb{Q}$，则邻域内有理数使 $f(x)=x^a \to x_0^a \neq 0$，而 $f(x_0)=0$，故不连续。
因此唯一可能连续的点是 $x=0$。
公式：\lim_{x\to x_0}f(x) \neq f(x_0) \quad (x_0 \neq 0)
提示：注意区分有理数路径和无理数路径的极限差异。
步骤 3/5
目标：验证 $x=0$ 处的连续性
计算 $x\to 0$ 时 $f(x)$ 的极限：
- 当 $x$ 为有理数时，$|f(x)-f(0)|=|x^a| = |x|^a$。
- 当 $x$ 为无理数时，$|f(x)-f(0)|=0$。
因此对任意 $x$，有 $|f(x)-f(0)| \le |x|^a$。
由于 $a>1$，$|x|^a \to 0$（$x\to 0$），由夹逼定理得 $\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$，故 $f$ 在 $x=0$ 连续。
公式：|f(x)-f(0)| \le |x|^a \to 0 \quad (x\to 0)
提示：夹逼定理是处理分段函数连续性的常用方法。
步骤 4/5
目标：讨论 $x=0$ 处的可导性
用导数定义：
$$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$$
- 若 $x$ 为有理数，则 $\frac{f(x)}{x}=x^{a-1}$。
- 若 $x$ 为无理数，则 $\frac{f(x)}{x}=0$。
因为 $a-1>0$，有理数路径下 $x^{a-1}\to 0$，无理数路径下恒为 $0$，故极限存在且为 $0$。
因此 $f'(0)=0$，$f$ 在 $x=0$ 可导。
公式：f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0
提示：注意 $a>1$ 保证了 $a-1>0$，从而有理数路径的极限为 $0$。
步骤 5/5
目标：总结可微性结论
在 $x\neq 0$ 处函数不连续，故不可导。仅在 $x=0$ 处可导，且导数为 $0$。因此函数 $f(x)$ 仅在 $x=0$ 处可微。
公式：f \text{ 在 } x=0 \text{ 可微}, \quad f'(0)=0
提示：可微必连续，不连续点一定不可微，这是判断可微性的重要依据。
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