华东师范大学 2023年数学分析第0题

题目中给出的区域由 $y=x^3$, $y=-c^3$, $x=-c$ 围成。但三条曲线仅交于一点 $(-c,-c^3)$，无法围成有限区域。根据常见题型，合理推测区域实际由 $y=x^3$, $y=-x^3$, $x=-c$, $x=c$（$c>0$）围成，此时区域关于 $x$ 轴对称，且关于 $y$ 轴对称。

将被积函数拆分为两部分： $$ \iint_D y(1+f(1+|\sin x|+\cos y)) \, dxdy = \iint_D y \, dxdy + \iint_D y \, f(1+|\sin x|+\cos y) \, dxdy $$

由于区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且被积函数 $y$ 关于 $y$ 是奇函数（即 $y \to -y$ 时函数值变号），因此该积分值为零： $$ \iint_D y \, dxdy = 0 $$

考虑函数 $g(x,y) = 1+|\sin x|+\cos y$。由于 $|\sin x|$ 是偶函数（关于 $x$），$\cos y$ 是偶函数（关于 $y$），因此 $g(x,y)$ 关于 $x$ 和 $y$ 都是偶函数。外层因子 $y$ 关于 $y$ 是奇函数，所以整个被积函数 $y \cdot f(g(x,y))$ 关于 $y$ 是奇函数（因为 $f(g)$ 是偶函数，乘奇函数得奇函数）。区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，故该部分积分也为零： $$ \iint_D y \, f(1+|\sin x|+\cos y) \, dxdy = 0 $$

两部分积分均为零，因此原二重积分值为零： $$ \iint_D y(1+f(1+|\sin x|+\cos y)) \, dxdy = 0 + 0 = 0 $$

根据上述分析，第一部分 $I_1 = -\frac{3c^7}{7}$，第二部分 $I_2$ 无法进一步化简，因此原二重积分为： $$\iint_D y(1+f(1+|\sin x|+\cos y)) \, dxdy = -\frac{3c^7}{7} + \iint_D y \, f(1+|\sin x|+\cos y) \, dxdy.$$ 其中 $D: -c \le x \le 0,\; -c^3 \le y \le x^3$（$c>0$）。若 $c<0$，区域类似但符号相反。

由于 $f$ 是任意连续函数，积分结果一般依赖于 $f$。但题目可能设计为：含 $f$ 的部分积分为零。检查被积函数 $y\,f(1+|\sin x|+\cos y)$ 关于 $y$ 的奇偶性：$y$ 奇，$f$ 偶（因 $\cos y$ 偶），整体为奇。若区域关于 $y=0$ 对称，则此项积分为零。但当前区域不对称，除非 $c=0$（但 $c\neq0$）。因此推测原题区域可能隐含对称性，例如 $D$ 由 $y=x^3,\; y=-x^3,\; x=-c,\; x=c$ 围成？但题目只给三条线。

常见考题中，区域由 $y=x^3,\; y=-x^3,\; x=-c$ 围成（即两条曲线和一条竖直线），但题目写的是 $y=-c^3$，可能为笔误。若改为 $y=-x^3$，则区域关于 $x$ 轴对称，且 $y$ 为奇函数，$f$ 部分为偶函数，乘积为奇，积分结果为零。此时原积分简化为 $$\iint_D y\,dxdy = \int_{-c}^0 dx \int_{-x^3}^{x^3} y\,dy = 0.$$ 但题目明确写 $y=-c^3$，故不采用此假设。

由步骤4，原积分化为 $$\iint_D y(1+f)\,dxdy = \int_{-c}^0 \frac12(x^6-c^6)\,dx + \int_{-c}^0 I_2(x)\,dx.$$ 第一部分： $$\int_{-c}^0 \frac12(x^6-c^6)\,dx = \frac12\left[\frac{x^7}{7} - c^6 x\right]_{-c}^0 = \frac12\left(0 - \left(\frac{(-c)^7}{7} - c^6(-c)\right)\right) = \frac12\left(-\frac{-c^7}{7} + c^7\right) = \frac12\left(\frac{c^7}{7}+c^7\right) = \frac{4}{7}c^7.$$ 第二部分 $\int_{-c}^0 I_2(x)\,dx$ 无法进一步化简，故最终结果为 $\frac{4}{7}c^7 + \int_{-c}^0 I_2(x)\,dx$。

由于 $f$ 是任意连续函数，第二部分积分一般不为零，因此原积分结果为 $$\iint_D y(1+f(1+|\sin x|+\cos y))\,dxdy = \frac{4}{7}c^7 + \int_{-c}^0 \left(\int_{-c^3}^{x^3} y\,f(1+|\sin x|+\cos y)\,dy\right)dx.$$ 若题目有额外条件（如 $f$ 为奇函数等），则可进一步化简。