华东师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
二．计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：使用三角换元简化被积函数中的根号
令 $x = \sin t$，其中 $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$，则 $\sqrt{1-x^2} = \cos t$，$\mathrm{d}x = \cos t \, \mathrm{d}t$。当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x=1$ 时 $t=\frac{\pi}{2}$。代入原积分得：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos t}{\sin t + \cos t} \, \mathrm{d}t
$$
公式：x = \sin t, \quad \sqrt{1-x^2} = \cos t, \quad \mathrm{d}x = \cos t \, \mathrm{d}t
提示：注意换元后积分限的变化，以及三角函数的取值范围，确保 $\cos t \ge 0$。
步骤 2/4
目标：引入对称积分并建立关系
记 $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos t}{\sin t + \cos t} \, \mathrm{d}t$，并考虑对称积分 $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin t}{\sin t + \cos t} \, \mathrm{d}t$。显然有：
$$
I + J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin t + \cos t}{\sin t + \cos t} \, \mathrm{d}t = \int_{0}^{\pi/2} 1 \, \mathrm{d}t = \frac{\pi}{2}
$$
公式：I + J = \frac{\pi}{2}
提示：注意分母相同，分子相加即可简化。
步骤 3/4
目标：利用变量替换证明 I = J
在 $J$ 中令 $u = \frac{\pi}{2} - t$，则 $\mathrm{d}t = -\mathrm{d}u$，当 $t=0$ 时 $u=\frac{\pi}{2}$，当 $t=\frac{\pi}{2}$ 时 $u=0$。代入得：
$$
J = \int_{\pi/2}^{0} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - u)}{\sin(\frac{\pi}{2} - u) + \cos(\frac{\pi}{2} - u)} (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos u}{\cos u + \sin u} \, \mathrm{d}u = I
$$
公式：\sin\left(\frac{\pi}{2} - u\right) = \cos u, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - u\right) = \sin u
提示：注意换元时积分限的变换，以及三角恒等式的正确使用。
步骤 4/4
目标：解出 I 并得到原积分值
由 $I+J = \frac{\pi}{2}$ 和 $I=J$ 得 $2I = \frac{\pi}{2}$，所以 $I = \frac{\pi}{4}$。因此原积分的值为 $\frac{\pi}{4}$。
公式：2I = \frac{\pi}{2} \Rightarrow I = \frac{\pi}{4}
提示：注意对称性简化计算，避免直接积分。
步骤 5/5
目标：解出 I 并得到原积分结果
由 $I+J = \frac{\pi}{2}$ 和 $I=J$ 得 $2I = \frac{\pi}{2}$，所以 $I = \frac{\pi}{4}$。因此原积分的值为 $\frac{\pi}{4}$。
公式：$\int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^2}} \mathrm{d}x = \frac{\pi}{4}$
提示：注意最终结果需化简。
步骤 6/6
目标：得出原积分结果
原积分等于 $I$，因此结果为 $\frac{\pi}{4}$。
提示：换元后积分限对应正确。
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