华东师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：拆分级数
将原级数拆分为两个部分：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}
提示：注意分子线性项可以拆开，常数因子2可以提到求和号外。
步骤 2/4
目标：计算等比级数
计算第二个级数：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{\frac12}{1-\frac12} = 1 \]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} \quad (|r|<1)
提示：注意首项是 \(\frac12\)，公比也是 \(\frac12\)，直接代入公式。
步骤 3/4
目标：计算 n/2^n 的级数
利用已知公式：当 \(|x|<1\) 时，
\[ \sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \]
令 \(x = \frac12\)，得：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{\frac12}{(1-\frac12)^2} = \frac{\frac12}{(\frac12)^2} = \frac{\frac12}{\frac14} = 2 \]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2} \quad (|x|<1)
提示：此公式可由等比级数逐项求导得到，注意分母平方不要算错。
步骤 4/4
目标：代入求值
将两个结果代入原式：
\[ 2 \times 2 - 1 = 4 - 1 = 3 \]
公式：原式 = 2 \times \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \right) - \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \right) = 2 \times 2 - 1 = 3
提示：注意先乘后减，避免计算顺序错误。
步骤 5/5
目标：代回原式得到最终结果
将已求得的两个级数的值代入：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} = 2 \times 2 - 1 = 4 - 1 = 3$$
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} = 3$$
提示：注意先乘后减，不要混淆运算顺序。
步骤 6/7
目标：计算第一个级数的值
由第3步和第5步：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2^n} = 2 \times 2 = 4$$
公式：2 \times 2 = 4
提示：注意不要漏乘因子2。
步骤 7/7
目标：合并两个级数得到最终结果
原级数 = 第一个级数 - 第二个级数 = $4 - 1 = 3$
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{2^n} = 4 - 1 = 3
提示：减法运算要仔细，避免符号错误。
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