📝 华东师范大学 2026年数学分析真题

1．计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．

2．计算 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt[x]{\sec \sqrt{2 x}}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．计算 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $|a| \neq 1$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan (a \tan x)}{\tan x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

5．求和函数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}\left(x^{2}-1\right)^{2 n}=$ $\_\_\_\_$ ．

6．计算第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{y} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $\Sigma$ 为拋物面 $y=x^{2}+z^{2}$ 被平面 $y=1, y=2$ 所截部分，取外侧．

7．设 $0<x<2 \pi, a \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{2 a}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a \cos n x-n \sin n x}{n^{2}+a^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

8．（15 分）解答如下问题：
（1）证明：对任意正整数 $n$ ，方程 $\displaystyle x^{3}+3 x+\frac{1}{n}=0$ 有且仅有一个实数解．
（2）设 $x_{n}, n=1,2, \cdots$ 为（1）中方程的实根，证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛．

9．（15 分）设 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $[a, b]$ 上的函数列；对任意 $x \in[a, b]$ ，数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 有界，且存在 $K>0$使得对任意 $x, y \in[a, b]$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$，都有 $\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leq K|x-y|$ ．证明：函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 必存在一致收敛的子列．

10．（16 分）判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误给出反例说明．
（1）若 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的凸函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．
（2）若 $f(x)$ 是 $(a, b)$ 上的凸函数，且 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续．

11．（16 分）设 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上为正值连续函数，且

$$
I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{f(x)} \sin x \ln f(x) \mathrm{d} x=0, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{f(x)} \cos x \ln f(x) \mathrm{d} x=0
$$

证明：
（1）在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上至少存在 $x_{1}$ ，使得 $f\left(x_{1}\right)=1$ ．
（2）在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上至少存在 $x_{2}, x_{3}$ ，使得 $f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{3}\right)$ ．

12．（16 分）设二元函数 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_{x}, f_{y}, f_{x y}$ 在点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处都连续．证明：$f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在，且 $f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．

13．（16 分）设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的有界单连通区域，其边界 $S$ 是一个光滑封闭曲面，$\vec{n}$ 是 $S$ 上动点 $Q(\xi, \eta, \zeta)$处的单位外法向量，$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为不在 $S$ 上的一点，$r=\sqrt{\left(\xi-x_{0}\right)^{2}+\left(\eta-y_{0}\right)^{2}+\left(\zeta-z_{0}\right)^{2}}$ ，证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{1}{r} \mathrm{~d} \xi \mathrm{~d} \eta \mathrm{~d} \zeta=\frac{1}{2} \iint_{S} \cos \angle(\overrightarrow{P Q}, \vec{n}) \mathrm{d} S$ ，其中 $\angle(\overrightarrow{P Q}, \vec{n})$ 表示向量 $\overrightarrow{P Q}$ 和 $\vec{n}$ 的夹角．