华东师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．计算 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解积分区域与几何意义
最外层积分变量为 $x$，范围 $0$ 到 $1$；第二层变量 $y$，范围 $0$ 到 $\sqrt{1-x^2}$，表明在 $xy$ 平面上的投影是第一象限的四分之一圆盘，半径为 $1$。最内层 $z$ 从 $\sqrt{x^2+y^2}$ 到 $\sqrt{2-x^2-y^2}$，因此立体区域位于锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=2$ 之间，且投影限制在 $x^2+y^2 \le 1$ 的第一象限。
公式：锥面：$z = \sqrt{x^2+y^2}$；球面：$x^2+y^2+z^2 = 2$
提示：注意 $z$ 的下限是锥面，上限是球面，且 $xy$ 投影是四分之一圆，不是整个圆。
步骤 2/7
目标：转化为柱坐标
令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，则被积函数 $xy = r^2\cos\theta\sin\theta = \frac{1}{2}r^2\sin2\theta$。体积元 $\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x = r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$。积分区域：$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/2$（第一象限），$r$ 从 $0$ 到 $1$（投影边界），$z$ 从 $r$ 到 $\sqrt{2-r^2}$。积分化为：
$$\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}\int_{z=r}^{\sqrt{2-r^2}} \frac{1}{2}r^2\sin2\theta \cdot r\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{1}\int_{r}^{\sqrt{2-r^2}} \frac{1}{2}r^3\sin2\theta\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$$
公式：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$\mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x = r\,\mathrm{d}z\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
提示：柱坐标的雅可比因子 $r$ 容易遗漏，务必乘上。
步骤 3/7
目标：对 $z$ 积分
先对 $z$ 积分，此时 $\frac{1}{2}r^3\sin2\theta$ 视为常数：
$$\int_{z=r}^{\sqrt{2-r^2}} \frac{1}{2}r^3\sin2\theta\,\mathrm{d}z = \frac{1}{2}r^3\sin2\theta \left(\sqrt{2-r^2} - r\right)$$
公式：$\int_{a}^{b} c\,\mathrm{d}z = c(b-a)$
提示：积分上下限不要代反，注意 $\sqrt{2-r^2} \ge r$ 在 $0 \le r \le 1$ 成立。
步骤 4/7
目标：分离变量并计算角度积分
积分化为两个独立部分的乘积：
$$\int_{0}^{\pi/2} \sin2\theta\,\mathrm{d}\theta \cdot \int_{0}^{1} \frac{1}{2}r^3\left(\sqrt{2-r^2} - r\right)\mathrm{d}r$$
计算角度积分：
$$\int_{0}^{\pi/2} \sin2\theta\,\mathrm{d}\theta = \left[-\frac{1}{2}\cos2\theta\right]_{0}^{\pi/2} = -\frac{1}{2}(\cos\pi - \cos0) = -\frac{1}{2}(-1-1) = 1$$
公式：$\int \sin2\theta\,\mathrm{d}\theta = -\frac{1}{2}\cos2\theta$
提示：计算三角函数定积分时注意代入上下限的符号变化。
步骤 5/7
目标：将 $r$ 积分拆分为两部分
角度部分结果为 $1$，剩余 $r$ 积分为：
$$\frac{1}{2}\int_{0}^{1} r^3\sqrt{2-r^2}\,\mathrm{d}r - \frac{1}{2}\int_{0}^{1} r^4\,\mathrm{d}r$$
先计算简单部分：
$$\int_{0}^{1} r^4\,\mathrm{d}r = \left[\frac{1}{5}r^5\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}$$
公式：$\int r^n\,\mathrm{d}r = \frac{r^{n+1}}{n+1}$
提示：幂函数积分公式直接使用，注意 $n \neq -1$。
步骤 6/7
目标：计算含根号的 $r$ 积分（换元法）
令 $u = 2 - r^2$，则 $\mathrm{d}u = -2r\,\mathrm{d}r$，$r^2 = 2-u$，$r^3\mathrm{d}r = r^2 \cdot r\mathrm{d}r = (2-u)\cdot(-\frac{1}{2}\mathrm{d}u)$。当 $r=0$ 时 $u=2$，$r=1$ 时 $u=1$。于是：
$$\int_{0}^{1} r^3\sqrt{2-r^2}\,\mathrm{d}r = \int_{u=2}^{1} (2-u)\sqrt{u}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} (2-u)u^{1/2}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} \left(2u^{1/2} - u^{3/2}\right)\mathrm{d}u$$
计算：
$$\frac{1}{2}\left[ \frac{4}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\left[ \left(\frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{8\sqrt{2}}{5}\right) - \left(\frac{4}{3} - \frac{2}{5}\right) \right]$$
化简括号内：$\frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{8\sqrt{2}}{5} = \frac{16\sqrt{2}}{15}$，$\frac{4}{3} - \frac{2}{5} = \frac{14}{15}$，差为 $\frac{16\sqrt{2} - 14}{15}$，乘以 $\frac{1}{2}$ 得 $\frac{16\sqrt{2} - 14}{30}$。
公式：换元 $u = 2 - r^2$，$\mathrm{d}u = -2r\,\mathrm{d}r$
提示：换元后注意积分限的变化，以及负号的处理，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：合并结果并化简
原积分 = $\frac{1}{2} \times \frac{16\sqrt{2} - 14}{30} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{5} = \frac{16\sqrt{2} - 14}{60} - \frac{1}{10}$。通分，$\frac{1}{10} = \frac{6}{60}$，得：
$$\frac{16\sqrt{2} - 14 - 6}{60} = \frac{16\sqrt{2} - 20}{60} = \frac{4(4\sqrt{2} - 5)}{60} = \frac{4\sqrt{2} - 5}{15}$$
公式：最终结果：$\frac{4\sqrt{2} - 5}{15}$
提示：最后化简时注意提取公因数，确保分数约至最简。
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