华东师范大学 2026年数学分析第0题

已知：二元函数 $f(x,y)$ 的偏导数 $f_x, f_y, f_{xy}$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 处都连续。需要证明：$f_{yx}(x_0,y_0)$ 存在，且 $f_{yx}(x_0,y_0) = f_{xy}(x_0,y_0)$。

为了联系两个混合偏导，定义二阶差商： $$ \Delta(h,k) = f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0+k) + f(x_0, y_0) $$ 其中 $h \neq 0, k \neq 0$ 且足够小。

将 $\Delta(h,k)$ 视为关于 $y$ 的函数差。令 $\phi(y) = f(x_0+h, y) - f(x_0, y)$，则 $\Delta(h,k) = \phi(y_0+k) - \phi(y_0)$。由拉格朗日中值定理，存在 $\eta$ 介于 $y_0$ 与 $y_0+k$ 之间，使得： $$ \Delta(h,k) = k \cdot \phi'(\eta) = k \left[ f_y(x_0+h, \eta) - f_y(x_0, \eta) \right] $$

对 $f_y$ 关于 $x$ 在区间 $[x_0, x_0+h]$ 上应用中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x_0+h$ 之间，使得： $$ f_y(x_0+h, \eta) - f_y(x_0, \eta) = h \cdot f_{yx}(\xi, \eta) $$ 因此： $$ \Delta(h,k) = hk \cdot f_{yx}(\xi, \eta) $$

类似地，将 $\Delta(h,k)$ 先视为关于 $x$ 的函数差。令 $\psi(x) = f(x, y_0+k) - f(x, y_0)$，则 $\Delta(h,k) = \psi(x_0+h) - \psi(x_0)$。先对 $x$ 应用中值定理，存在 $\xi'$ 介于 $x_0$ 与 $x_0+h$ 之间，使得： $$ \Delta(h,k) = h \left[ f_x(\xi', y_0+k) - f_x(\xi', y_0) \right] $$ 再对 $f_x$ 关于 $y$ 应用中值定理，存在 $\eta'$ 介于 $y_0$ 与 $y_0+k$ 之间，使得： $$ \Delta(h,k) = hk \cdot f_{xy}(\xi', \eta') $$

由以上两步得到： $$ hk \cdot f_{yx}(\xi, \eta) = hk \cdot f_{xy}(\xi', \eta') $$ 当 $h \to 0, k \to 0$ 时，$\xi \to x_0, \eta \to y_0$，且 $\xi' \to x_0, \eta' \to y_0$。由于 $f_{xy}$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，有： $$ \lim_{(h,k)\to(0,0)} f_{xy}(\xi', \eta') = f_{xy}(x_0,y_0) $$ 同时，由 $f_{yx}(\xi, \eta)$ 的极限存在性（由 $f_{xy}$ 连续和等式保证），可得： $$ \lim_{(h,k)\to(0,0)} f_{yx}(\xi, \eta) = f_{xy}(x_0,y_0) $$ 因此 $f_{yx}(x_0,y_0)$ 存在且等于 $f_{xy}(x_0,y_0)$。

考虑 $f_{yx}(x_0, y_0)$ 的定义： $$ f_{yx}(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(x_0 + h, y_0) - f_y(x_0, y_0)}{h} $$ 由前面的推导，对固定的非零小 $h$，有 $$ \frac{f_y(x_0 + h, y_0) - f_y(x_0, y_0)}{h} = \lim_{k\to 0} \frac{\Delta}{h k} = \lim_{k\to 0} f_{xy}(\xi, \eta) $$ 由于 $f_{xy}$ 连续，当 $k\to 0$ 时，$(\xi, \eta) \to (x_0 + \theta h, y_0)$（其中 $0<\theta<1$），再令 $h\to 0$，极限为 $f_{xy}(x_0, y_0)$。因此极限存在且等于该值，即 $f_{yx}(x_0, y_0)$ 存在且等于 $f_{xy}(x_0, y_0)$。

综上，由已知条件 $f_x, f_y, f_{xy}$ 在 $P_0$ 处连续，通过两次应用中值定理构造差商，并利用 $f_{xy}$ 的连续性，证明了 $f_{yx}(x_0, y_0)$ 存在且等于 $f_{xy}(x_0, y_0)$。