华东师范大学 2026年数学分析第0题

首先回顾凸函数的定义：对于任意 $x_1, x_2 \in [a, b]$ 和任意 $\lambda \in [0, 1]$，有 $f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \le \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2)$。对于闭区间上的凸函数，已知结论是在开区间 $(a, b)$ 内连续，且端点处单侧连续。下面证明端点 $a$ 处的右连续性：取 $x \in (a, b]$，由凸性，对任意 $h > 0$ 足够小，有 $f(a + h) \le (1 - \frac{h}{b-a}) f(a) + \frac{h}{b-a} f(b)$，从而 $\limsup_{h \to 0^+} f(a+h) \le f(a)$；另一方面，由凸性也可得 $f(a) \le \frac{b-a-h}{b-a} f(a+h) + \frac{h}{b-a} f(b)$，取极限得 $f(a) \le \liminf_{h \to 0^+} f(a+h)$。因此 $\lim_{h \to 0^+} f(a+h) = f(a)$，右连续成立。同理可证左端点 $b$ 的左连续性。内部点的连续性可由凸函数在开区间内局部 Lipschitz 连续得到。故 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，命题正确。

已知 $f$ 是 $(a, b)$ 上的凸函数且可微。凸函数可微时，其导函数 $f'(x)$ 在 $(a, b)$ 上单调不减（因为对任意 $x < y$，由凸性有 $f'(x) \le \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \le f'(y)$）。单调函数可能具有跳跃间断点，但导函数具有达布性质（介值性）：若 $f'$ 在 $x_0$ 处有跳跃间断，则存在 $c$ 介于左右极限之间，但 $f'$ 无法取到 $c$，与达布定理矛盾。因此 $f'$ 不能有跳跃间断，而单调函数的不连续点只能是跳跃型，故 $f'$ 必连续。命题正确。

（1）正确，因为凸函数在闭区间上端点单侧连续，内部连续，故整体连续。 （2）正确，因为凸可微函数的导函数单调且具有介值性，故连续。

由上述推理，凸可微函数的导函数必然连续，因此命题（2）正确。

两个命题均正确。命题（1）表明闭区间上的凸函数必连续；命题（2）表明可微的凸函数其导数连续。