华东师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
13．（16 分）设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的有界单连通区域，其边界 $S$ 是一个光滑封闭曲面，$\vec{n}$ 是 $S$ 上动点 $Q(\xi, \eta, \zeta)$处的单位外法向量，$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为不在 $S$ 上的一点，$r=\sqrt{\left(\xi-x_{0}\right)^{2}+\left(\eta-y_{0}\right)^{2}+\left(\zeta-z_{0}\right)^{2}}$ ，证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{1}{r} \mathrm{~d} \xi \mathrm{~d} \eta \mathrm{~d} \zeta=\frac{1}{2} \iint_{S} \cos \angle(\overrightarrow{P Q}, \vec{n}) \mathrm{d} S$ ，其中 $\angle(\overrightarrow{P Q}, \vec{n})$ 表示向量 $\overrightarrow{P Q}$ 和 $\vec{n}$ 的夹角．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目中的符号与几何意义
设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的有界单连通区域，边界 $S$ 光滑封闭，$\vec{n}$ 是 $S$ 上动点 $Q(\xi, \eta, \zeta)$ 处的单位外法向量。$P_0(x_0, y_0, z_0)$ 是不在 $S$ 上的固定点，$r = \sqrt{(\xi - x_0)^2 + (\eta - y_0)^2 + (\zeta - z_0)^2}$ 表示 $P_0$ 到 $Q$ 的距离。要证明的等式为：
$$\iiint_{\Omega} \frac{1}{r} \, d\xi d\eta d\zeta = \frac{1}{2} \iint_S \cos \angle(\overrightarrow{P_0Q}, \vec{n}) \, dS.$$
公式：$$r = \sqrt{(\xi - x_0)^2 + (\eta - y_0)^2 + (\zeta - z_0)^2}$$
提示：注意 $\overrightarrow{PQ}$ 实际应为 $\overrightarrow{P_0Q}$，即从固定点指向曲面动点的向量。
步骤 2/5
目标：将右侧被积函数转化为向量点积形式
根据向量夹角的余弦定义，$\cos \angle(\overrightarrow{P_0Q}, \vec{n})$ 等于单位向量 $\frac{\overrightarrow{P_0Q}}{r}$ 与 $\vec{n}$ 的点积：
$$\cos \angle(\overrightarrow{P_0Q}, \vec{n}) = \frac{\overrightarrow{P_0Q}}{r} \cdot \vec{n}.$$
因此右侧曲面积分可改写为：
$$\frac{1}{2} \iint_S \frac{\overrightarrow{P_0Q}}{r} \cdot \vec{n} \, dS.$$
公式：$$\cos \angle(\overrightarrow{P_0Q}, \vec{n}) = \frac{\overrightarrow{P_0Q}}{r} \cdot \vec{n}$$
提示：注意 $\overrightarrow{P_0Q}$ 是向量，$r$ 是标量长度，点积运算要区分清楚。
步骤 3/5
目标：构造向量场并应用高斯散度定理
定义向量场 $\vec{F}(Q) = \frac{\overrightarrow{P_0Q}}{r}$，在直角坐标系中，设 $P_0=(x_0, y_0, z_0)$，$Q=(\xi, \eta, \zeta)$，则：
$$\vec{F} = \left( \frac{\xi - x_0}{r}, \frac{\eta - y_0}{r}, \frac{\zeta - z_0}{r} \right).$$
高斯散度定理指出：
$$\iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \vec{F} \, dV.$$
公式：$$\iint_S \vec{F} \cdot \vec{n} \, dS = \iiint_{\Omega} \nabla \cdot \vec{F} \, dV$$
提示：应用高斯定理时需确保 $\vec{F}$ 在 $\Omega$ 内连续可微，由于 $P_0$ 不在 $S$ 上，$\vec{F}$ 在 $\Omega$ 内光滑。
步骤 4/5
目标：计算向量场 $\vec{F}$ 的散度
先计算 $\frac{\partial}{\partial \xi} \left( \frac{\xi - x_0}{r} \right)$。由于 $\frac{\partial r}{\partial \xi} = \frac{\xi - x_0}{r}$，有：
$$\frac{\partial}{\partial \xi} \left( \frac{\xi - x_0}{r} \right) = \frac{1 \cdot r - (\xi - x_0) \cdot \frac{\partial r}{\partial \xi}}{r^2} = \frac{r - (\xi - x_0)\frac{\xi - x_0}{r}}{r^2} = \frac{r^2 - (\xi - x_0)^2}{r^3}.$$
同理：
$$\frac{\partial}{\partial \eta} \left( \frac{\eta - y_0}{r} \right) = \frac{r^2 - (\eta - y_0)^2}{r^3}, \quad \frac{\partial}{\partial \zeta} \left( \frac{\zeta - z_0}{r} \right) = \frac{r^2 - (\zeta - z_0)^2}{r^3}.$$
三式相加得：
$$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{3r^2 - [(\xi-x_0)^2 + (\eta-y_0)^2 + (\zeta-z_0)^2]}{r^3} = \frac{3r^2 - r^2}{r^3} = \frac{2}{r}.$$
公式：$$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{2}{r}$$
提示：计算偏导时注意链式法则，分子分母不要混淆，最终结果简洁为 $2/r$。
步骤 5/5
目标：代入高斯公式并整理得到最终等式
将散度结果代入高斯公式：
$$\iint_S \frac{\overrightarrow{P_0Q}}{r} \cdot \vec{n} \, dS = \iiint_{\Omega} \frac{2}{r} \, d\xi d\eta d\zeta.$$
两边同时除以2：
$$\frac{1}{2} \iint_S \frac{\overrightarrow{P_0Q}}{r} \cdot \vec{n} \, dS = \iiint_{\Omega} \frac{1}{r} \, d\xi d\eta d\zeta.$$
这正是原等式右侧的表达式，因此原命题得证。
公式：$$\iiint_{\Omega} \frac{1}{r} \, d\xi d\eta d\zeta = \frac{1}{2} \iint_S \cos \angle(\overrightarrow{P_0Q}, \vec{n}) \, dS$$
提示：注意最后一步将点积形式还原为余弦形式，完成证明。
步骤 6/6
目标：总结结论
无论 $P_0$ 在 $\Omega$ 内部还是外部（只要不在边界 $S$ 上），都有：
$$
\boxed{\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{1}{r} \, d\xi d\eta d\zeta = \frac{1}{2} \iint_{S} \cos \angle(\overrightarrow{P_0Q}, \vec{n}) \, dS}.
$$
提示：注意 $P_0$ 不在 $S$ 上，否则 $r$ 在边界上为零，积分可能发散。
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