华东师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9．（15 分）设 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $[a, b]$ 上的函数列；对任意 $x \in[a, b]$ ，数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 有界，且存在 $K>0$使得对任意 $x, y \in[a, b]$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$，都有 $\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leq K|x-y|$ ．证明：函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 必存在一致收敛的子列．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件并明确证明目标
题目给出了函数列 $\{f_n(x)\}$ 在闭区间 $[a,b]$ 上的两个关键条件：\n1. 对每个固定的 $x$，数列 $\{f_n(x)\}$ 有界；\n2. 存在公共 Lipschitz 常数 $K>0$，使得对任意 $n$ 和任意 $x,y$，有 $|f_n(x)-f_n(y)| \\le K|x-y|$。\n\n证明目标是：存在一个子列 $\{f_{n_k}\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。这提示我们使用 Arzelà–Ascoli 定理，该定理要求函数族一致有界且等度连续。
公式：|f_n(x)-f_n(y)| \\le K|x-y|
提示：注意区分“逐点有界”和“一致有界”，以及“等度连续”与“一致连续”的关系。
步骤 2/5
目标：证明函数列一致有界
取定一点 $x_0 \\in [a,b]$。由条件1，数列 $\{f_n(x_0)\}$ 有界，故存在 $M_0>0$ 使得对所有 $n$，有 $|f_n(x_0)| \\le M_0$。\n对任意 $x \\in [a,b]$，由 Lipschitz 条件得：\n$|f_n(x)-f_n(x_0)| \\le K|x-x_0| \\le K(b-a)$。\n于是：\n$|f_n(x)| \\le |f_n(x_0)| + K(b-a) \\le M_0 + K(b-a)$。\n令 $M = M_0 + K(b-a)$，则对所有 $n$ 和所有 $x \\in [a,b]$，有 $|f_n(x)| \\le M$，即函数列一致有界。
公式：|f_n(x)| \\le M_0 + K(b-a)
提示：这里的关键是利用 Lipschitz 条件将任意点的函数值用固定点的函数值控制住，从而得到全局一致上界。
步骤 3/5
目标：验证函数列等度连续
由条件2，对任意 $\epsilon > 0$，取 $\delta = \\epsilon / K$，则对任意 $n$ 和任意 $x,y \\in [a,b]$，只要 $|x-y| < \\delta$，就有：\n$|f_n(x)-f_n(y)| \\le K|x-y| < K \\cdot \\frac{\\epsilon}{K} = \\epsilon$。\n该 $\delta$ 与 $n$ 和 $x$ 无关，因此函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上等度连续。
公式：|f_n(x)-f_n(y)| \\le K|x-y|
提示：等度连续的定义是：对任意 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对所有 $n$ 和所有满足 $|x-y|<\\delta$ 的 $x,y$，都有 $|f_n(x)-f_n(y)|<\\epsilon$。这里 Lipschitz 条件直接给出了 $\delta=\\epsilon/K$。
步骤 4/5
目标：应用 Arzelà–Ascoli 定理
我们已经证明函数列 $\{f_n\}$ 在紧区间 $[a,b]$ 上满足：\n- 一致有界（存在 $M>0$ 使得 $|f_n(x)| \\le M$ 对所有 $n$ 和 $x$ 成立）；\n- 等度连续（由 Lipschitz 条件保证）。\n\n根据 Arzelà–Ascoli 定理，存在子列 $\{f_{n_k}\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：\\text{Arzelà–Ascoli 定理}
提示：Arzelà–Ascoli 定理是泛函分析中的核心定理，其条件是：定义在紧集上的函数族一致有界且等度连续，则存在一致收敛的子列。
步骤 5/5
目标：得出结论
由上述推理，函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[a,b]$ 上必存在一致收敛的子列，证毕。
提示：本题的关键在于先由逐点有界和 Lipschitz 条件推导出一致有界，再结合等度连续性应用 Arzelà–Ascoli 定理。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，我们构造了子列 $\{f_{n_k}\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，因此函数列 $\{f_n\}$ 必存在一致收敛的子列。
提示：本题本质是 Arzelà-Ascoli 定理的直接应用，但需手动构造。
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