华东师范大学 2026年数学分析第0题

题目给出的表达式为： \[ \frac{1}{2a} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a \cos nx - n \sin nx}{n^2 + a^2} \] 其中 \(0 < x < 2\pi\)，\(a \neq 0\)。 对于周期为 \(2\pi\) 的函数 \(f(x)\)，其傅里叶级数为： \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \] 对比通项，可设： \[ a_n = \frac{a}{n^2 + a^2}, \quad b_n = -\frac{n}{n^2 + a^2}, \quad \frac{a_0}{2} = \frac{1}{2a} \Rightarrow a_0 = \frac{1}{a} \]

已知一个标准傅里叶展开公式（可通过计算 \(e^{ax}\) 的傅里叶系数得到）： 对于 \(0 < x < 2\pi\)，有 \[ \frac{e^{ax}}{e^{2\pi a} - 1} = \frac{1}{2\pi a} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a \cos nx - n \sin nx}{n^2 + a^2} \] 此公式的右边与题目形式非常接近，只是多了一个因子 \(\frac{1}{\pi}\)。

将上述等式两边同时乘以 \(\pi\)： \[ \frac{\pi e^{ax}}{e^{2\pi a} - 1} = \frac{1}{2a} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a \cos nx - n \sin nx}{n^2 + a^2} \] 左边恰好就是题目所求的表达式。

从傅里叶系数的角度验证： 对于函数 \(g(x) = \frac{\pi e^{ax}}{e^{2\pi a} - 1}\) 在 \((0, 2\pi)\) 上展开，其傅里叶系数计算可得： \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} g(x) \, dx = \frac{1}{a} \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} g(x) \cos nx \, dx = \frac{a}{n^2 + a^2} \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} g(x) \sin nx \, dx = -\frac{n}{n^2 + a^2} \] 与题目中的系数完全一致，因此原式等于 \(g(x)\)。

因此，原式的结果为： \[ \boxed{\displaystyle \frac{\pi e^{ax}}{e^{2\pi a} - 1}} \] 其中 \(0 < x < 2\pi\)，\(a \neq 0\)。

将上式两边同时除以 $\frac{e^{2\pi a}-1}{\pi}$（因为 $a\neq0$ 且 $e^{2\pi a}\neq1$，分母不为零），并移项整理： $$\frac{\pi e^{ax}}{e^{2\pi a}-1}=\frac{1}{2a}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a\cos nx-n\sin nx}{n^2+a^2}$$ 因此，原级数的和为 $\displaystyle \frac{\pi e^{ax}}{e^{2\pi a}-1}$。