华东师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．计算 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt[x]{\sec \sqrt{2 x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将原极限转化为指数形式，便于处理幂指函数
设 $y = \sqrt[x]{\sec \sqrt{2x}} = (\sec \sqrt{2x})^{1/x}$，则 $\ln y = \frac{1}{x} \ln(\sec \sqrt{2x})$。原极限 $\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} e^{\ln y}$，因此先求 $\lim_{x \to 0^+} \ln y$。
公式：$\ln y = \frac{1}{x} \ln(\sec \sqrt{2x})$
提示：幂指函数求极限时，取对数转化为 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型是常用技巧。
步骤 2/6
目标：分析 $\sec \sqrt{2x}$ 在 $x \to 0^+$ 时的渐近行为
当 $t \to 0$ 时，$\cos t \sim 1 - \frac{t^2}{2}$，故 $\sec t = \frac{1}{\cos t} \sim 1 + \frac{t^2}{2}$。令 $t = \sqrt{2x}$，则 $\sec \sqrt{2x} \sim 1 + \frac{(\sqrt{2x})^2}{2} = 1 + x$。
公式：$\sec \sqrt{2x} \sim 1 + x \quad (x \to 0^+)$
提示：注意 $\sqrt{2x}$ 的平方是 $2x$，除以 $2$ 后恰好得到 $x$，这是关键简化。
步骤 3/6
目标：利用等价无穷小替换简化对数部分
由 $\ln(1+u) \sim u$（$u \to 0$），得 $\ln(\sec \sqrt{2x}) \sim \ln(1+x) \sim x$。因此 $\ln y \sim \frac{1}{x} \cdot x = 1$，初步猜测极限为 $e$。
公式：$\ln(\sec \sqrt{2x}) \sim x \quad (x \to 0^+)$
提示：等价无穷小替换只能在乘除因子中使用，此处 $\ln(\sec \sqrt{2x})$ 是分子整体，可以替换。
步骤 4/6
目标：用洛必达法则严格计算极限
考虑 $\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(\sec \sqrt{2x})}{x}$，这是 $0/0$ 型。分子求导：令 $u = \sqrt{2x}$，则 $\frac{d}{dx} \ln(\sec u) = \tan u \cdot \frac{du}{dx}$，而 $\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$，故分子导数为 $\frac{\tan \sqrt{2x}}{\sqrt{2x}}$。分母导数为 $1$。于是原极限 $= \lim_{x \to 0^+} \frac{\tan \sqrt{2x}}{\sqrt{2x}}$。
公式：$\frac{d}{dx} \ln(\sec \sqrt{2x}) = \frac{\tan \sqrt{2x}}{\sqrt{2x}}$
提示：求导时注意复合函数链式法则，$\ln(\sec u)$ 的导数是 $\tan u$。
步骤 5/6
目标：计算洛必达后的极限
当 $x \to 0^+$ 时，$\sqrt{2x} \to 0$，利用等价无穷小 $\tan t \sim t$，得 $\frac{\tan \sqrt{2x}}{\sqrt{2x}} \sim \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2x}} = 1$。因此 $\lim_{x \to 0^+} \ln y = 1$。
公式：$\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan \sqrt{2x}}{\sqrt{2x}} = 1$
提示：也可用重要极限 $\lim_{t \to 0} \frac{\tan t}{t} = 1$ 直接得出结果。
步骤 6/6
目标：还原原极限得到最终答案
由 $\lim_{x \to 0^+} \ln y = 1$，得 $\lim_{x \to 0^+} y = e^1 = e$。
公式：$\lim_{x \to 0^+} \sqrt[x]{\sec \sqrt{2x}} = e$
提示：注意指数函数的连续性：若 $\ln y \to L$，则 $y \to e^L$。
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