华东师范大学 2026年数学分析第0题

曲面 $\Sigma$ 为抛物面 $y = x^2 + z^2$ 被平面 $y=1$ 和 $y=2$ 所截部分，取外侧。该曲面不封闭，直接计算第二型曲面积分较复杂。考虑补上两个平面圆盘 $\Sigma_1: y=1, x^2+z^2 \le 1$（取下侧）和 $\Sigma_2: y=2, x^2+z^2 \le 2$（取上侧），构成封闭曲面 $\Sigma \cup \Sigma_1 \cup \Sigma_2$，然后应用高斯公式。

由积分表达式 $\iint_{\Sigma} x z^2 \, dy\,dz + \frac{1}{y} \, dz\,dx + x^2 z \, dx\,dy$，得 $P = x z^2$，$Q = \frac{1}{y}$，$R = x^2 z$。计算散度： $\frac{\partial P}{\partial x} = z^2$，$\frac{\partial Q}{\partial y} = -\frac{1}{y^2}$，$\frac{\partial R}{\partial z} = x^2$。 因此散度为 $z^2 - \frac{1}{y^2} + x^2$。

区域 $V$ 为抛物面 $y=x^2+z^2$ 从 $y=1$ 到 $y=2$ 的部分。采用“先二后一”法：对固定 $y$，截面为圆盘 $x^2+z^2 \le y$。 三重积分 $\iiint_V (x^2+z^2 - \frac{1}{y^2}) dV = \iiint_V (x^2+z^2) dV - \iiint_V \frac{1}{y^2} dV$。 第一部分：$\iiint_V (x^2+z^2) dV = \int_{y=1}^2 \left[ \iint_{x^2+z^2 \le y} (x^2+z^2) \, dx\,dz \right] dy$。 在圆盘上用极坐标：$x=r\cos\theta, z=r\sin\theta$，$\iint (x^2+z^2) dx\,dz = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{y}} r^2 \cdot r\, dr = 2\pi \cdot \frac{y^2}{4} = \frac{\pi y^2}{2}$。 对 $y$ 积分：$\int_1^2 \frac{\pi y^2}{2} dy = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{y^3}{3} \big|_1^2 = \frac{\pi}{6}(8-1) = \frac{7\pi}{6}$。 第二部分：$\iiint_V \frac{1}{y^2} dV = \int_{y=1}^2 \frac{1}{y^2} \cdot (\text{截面面积}) dy = \int_1^2 \frac{1}{y^2} \cdot \pi y \, dy = \pi \int_1^2 \frac{1}{y} dy = \pi \ln 2$。 故封闭曲面积分结果为 $\frac{7\pi}{6} - \pi \ln 2$。

$\Sigma_1$ 为 $y=1$ 上的圆盘 $x^2+z^2 \le 1$，取下侧（法向 $(0,-1,0)$）。 第二型曲面积分中，法向方向余弦为 $(\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = (0,-1,0)$。 - 第一项 $x z^2 dy\,dz$：$\cos\alpha=0$，贡献为 0。 - 第二项 $\frac{1}{y} dz\,dx$：$\cos\beta=-1$，且 $y=1$，故 $\frac{1}{y}=1$，积分化为 $\iint_{x^2+z^2 \le 1} 1 \cdot (-1) \, dx\,dz = -\pi$。 - 第三项 $x^2 z dx\,dy$：$\cos\gamma=0$，贡献为 0。 因此 $\iint_{\Sigma_1} = -\pi$。

$\Sigma_2$ 为 $y=2$ 上的圆盘 $x^2+z^2 \le 2$，取上侧（法向 $(0,1,0)$）。 法向方向余弦为 $(0,1,0)$。 - 第一项 $x z^2 dy\,dz$：$\cos\alpha=0$，贡献为 0。 - 第二项 $\frac{1}{y} dz\,dx$：$\cos\beta=1$，且 $y=2$，故 $\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$，积分化为 $\iint_{x^2+z^2 \le 2} \frac{1}{2} \cdot (+1) \, dx\,dz = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi$。 - 第三项 $x^2 z dx\,dy$：$\cos\gamma=0$，贡献为 0。 因此 $\iint_{\Sigma_2} = \pi$。

由封闭曲面积分等于各曲面之和：$\iint_{\Sigma \cup \Sigma_1 \cup \Sigma_2} = \iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_1} + \iint_{\Sigma_2}$。 因此 $\iint_{\Sigma} = \left( \frac{7\pi}{6} - \pi \ln 2 \right) - (-\pi) - \pi = \frac{7\pi}{6} - \pi \ln 2$。 最终结果为 $\frac{7\pi}{6} - \pi \ln 2$。

上底 $y=2$，取上侧，法向量为 $(0,1,0)$，只有 $dx\,dy$ 项贡献，积分化为 $\iint_{x^2+z^2 \le 2} x^2 z\,dx\,dz$，被积函数关于 $z$ 为奇函数，区域对称，积分为 $0$。 下底 $y=1$，取下侧，法向量为 $(0,-1,0)$，同样只有 $dx\,dy$ 项贡献，积分 $\iint_{x^2+z^2 \le 1} x^2 z\,dx\,dz = 0$。 因此上下底面贡献均为 $0$，抛物面部分积分即为封闭曲面积分值。