华东师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
11．（16 分）设 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上为正值连续函数，且
$$
I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{f(x)} \sin x \ln f(x) \mathrm{d} x=0, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{f(x)} \cos x \ln f(x) \mathrm{d} x=0
$$
证明：
（1）在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上至少存在 $x_{1}$ ，使得 $f\left(x_{1}\right)=1$ ．
（2）在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上至少存在 $x_{2}, x_{3}$ ，使得 $f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{3}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析已知条件，明确积分等式含义
已知 $f(x)$ 在 $[0,\pi/2]$ 上正值连续，且 $I_1 = \int_0^{\pi/2} e^{f(x)} \sin x \ln f(x) \, dx = 0$，$I_2 = \int_0^{\pi/2} e^{f(x)} \cos x \ln f(x) \, dx = 0$。由于 $e^{f(x)}>0$，且在 $(0,\pi/2)$ 内 $\sin x>0$、$\cos x>0$，因此两个积分等于零意味着被积函数中的 $\ln f(x)$ 必须变号，否则积分不可能为零。
公式：I_1 = \int_0^{\pi/2} e^{f(x)} \sin x \ln f(x) \, dx = 0,\quad I_2 = \int_0^{\pi/2} e^{f(x)} \cos x \ln f(x) \, dx = 0
提示：注意 $\sin x$ 和 $\cos x$ 在区间内部恒正，端点处为零但不影响积分变号性质的判断。
步骤 2/4
目标：证明存在一点使 $f(x)=1$（结论1）
考虑 $I_1=0$。由于 $e^{f(x)}\sin x > 0$ 在 $(0,\pi/2)$ 内成立，若 $\ln f(x)$ 在 $(0,\pi/2)$ 内恒正或恒负，则 $I_1$ 不可能为零。因此 $\ln f(x)$ 必变号，即存在 $a,b\in(0,\pi/2)$ 使得 $\ln f(a)>0$，$\ln f(b)<0$。由连续函数的介值定理，存在 $x_1$ 介于 $a$ 与 $b$ 之间，使得 $\ln f(x_1)=0$，即 $f(x_1)=1$。
公式：\ln f(x_1)=0 \Rightarrow f(x_1)=1
提示：介值定理要求函数连续，$\ln f(x)$ 由 $f(x)$ 正值连续保证连续。
步骤 3/4
目标：利用罗尔定理从 $I_1$ 和 $I_2$ 分别得到使 $f=1$ 的点
构造辅助函数 $F(x)=\int_0^x e^{f(t)}\sin t \ln f(t)\,dt$，则 $F(0)=0$，由 $I_1=0$ 知 $F(\pi/2)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,\pi/2)$ 使得 $F'(\xi)=e^{f(\xi)}\sin\xi\ln f(\xi)=0$。由于 $e^{f(\xi)}\sin\xi>0$，故 $\ln f(\xi)=0$，即 $f(\xi)=1$。
同理，构造 $G(x)=\int_0^x e^{f(t)}\cos t \ln f(t)\,dt$，由 $I_2=0$ 及罗尔定理，存在 $\eta\in(0,\pi/2)$ 使得 $G'(\eta)=e^{f(\eta)}\cos\eta\ln f(\eta)=0$，从而 $f(\eta)=1$。
公式：F'(\xi)=e^{f(\xi)}\sin\xi\ln f(\xi)=0,\quad G'(\eta)=e^{f(\eta)}\cos\eta\ln f(\eta)=0
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，端点函数值相等，这里 $F$ 和 $G$ 满足条件。
步骤 4/4
目标：证明存在两个不同的点使函数值相等（结论2）
由上述步骤得到两个点 $\xi$ 和 $\eta$ 均满足 $f=1$。若 $\xi=\eta$，则 $\ln f(x)$ 在 $(0,\pi/2)$ 内仅有一个零点 $x_0$，且在该点两侧符号相反。但由于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 在 $(0,\pi/2)$ 内单调性不同（$\sin x$ 递增，$\cos x$ 递减），此时 $I_1$ 和 $I_2$ 不可能同时为零（例如，若 $\ln f(x)$ 在 $x_0$ 左侧为正、右侧为负，则 $I_1$ 和 $I_2$ 的符号权重分布会导致至少一个积分非零）。这与已知条件矛盾。因此 $\xi\neq\eta$，即存在两个不同的点 $x_2=\xi$，$x_3=\eta$ 使得 $f(x_2)=f(x_3)=1$。
公式：f(\xi)=f(\eta)=1,\quad \xi\neq\eta
提示：反证法的关键在于利用权重函数 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的不同单调性导致积分符号无法同时抵消。
步骤 5/6
目标：将 $F(x)$ 变号转化为 $f(x)$ 的性质
由于 $F(x) = e^{f(x)} \ln f(x)$，且 $e^{f(x)} > 0$ 恒成立，因此 $F(x)$ 的符号完全由 $\ln f(x)$ 决定。$F(a) \cdot F(b) < 0$ 意味着 $\ln f(a)$ 与 $\ln f(b)$ 异号，即 $\ln f(a) > 0$ 且 $\ln f(b) < 0$（或相反）。从而 $f(a) > 1$，$f(b) < 1$。
公式：f(a) > 1, \quad f(b) < 1
提示：注意 $f(x) > 0$，所以 $\ln f(x)$ 的定义良好。
步骤 6/6
目标：利用介值定理证明存在两个不同点函数值相等
由 $f(x)$ 在闭区间 $[0, \pi/2]$ 上连续，故存在最大值 $M$ 和最小值 $m$。由 $f(a) > 1$ 和 $f(b) < 1$ 知 $M > 1$，$m < 1$。若 $M = m$，则 $f$ 为常数，任意两点函数值相等，结论成立。若 $M > m$，则任取 $c \in (m, M)$，由连续函数的介值定理，存在 $x_2, x_3 \in (0, \pi/2)$（可能 $x_2 \neq x_3$）使得 $f(x_2) = f(x_3) = c$。特别地，取 $c = 1$ 时已由（1）给出，但这里 $c$ 可以是任意介于 $m$ 和 $M$ 之间的值，从而保证存在两个不同的点函数值相等。
公式：\exists x_2, x_3 \in (0, \pi/2), \, x_2 \neq x_3, \text{ 使得 } f(x_2) = f(x_3)
提示：注意介值定理保证存在性，但需确保 $x_2$ 和 $x_3$ 不同：若 $f$ 非常数，则至少有两个不同的点取到同一中间值（例如在单调区间上可能只有一个，但这里 $f$ 既有大于1又有小于1的值，且连续，必然有重复值）。
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