华东师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．（15 分）解答如下问题：
（1）证明：对任意正整数 $n$ ，方程 $\displaystyle x^{3}+3 x+\frac{1}{n}=0$ 有且仅有一个实数解．
（2）设 $x_{n}, n=1,2, \cdots$ 为（1）中方程的实根，证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明方程有且仅有一个实数解
考虑函数 $f(x) = x^3 + 3x + \frac{1}{n}$，其中 $n$ 为正整数。首先求导：$f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1) > 0$ 对所有实数 $x$ 成立，因此 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增，从而方程至多有一个实数解。
公式：f'(x) = 3x^2 + 3 > 0
提示：注意导数恒正说明函数严格单调，这是唯一性的关键。
步骤 2/6
目标：证明存在实数解
计算极限：$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$，$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$。由于 $f(x)$ 连续，由介值定理，存在某个实数 $x_0$ 使得 $f(x_0)=0$。结合严格单调性，该解唯一。
公式：\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
提示：介值定理要求函数连续且两端极限符号相反，这里满足条件。
步骤 3/6
目标：建立数列递推关系
设 $x_n$ 为方程 $x^3 + 3x + \frac{1}{n} = 0$ 的唯一实根，则 $x_n^3 + 3x_n = -\frac{1}{n}$。类似地，$x_{n+1}^3 + 3x_{n+1} = -\frac{1}{n+1}$。
公式：x_n^3 + 3x_n = -\frac{1}{n}
提示：注意 $n$ 不同时，方程右边常数项不同。
步骤 4/6
目标：证明数列单调递增
由于 $\frac{1}{n} > \frac{1}{n+1}$，所以 $-\frac{1}{n} < -\frac{1}{n+1}$，即 $x_n^3 + 3x_n < x_{n+1}^3 + 3x_{n+1}$。令 $g(t) = t^3 + 3t$，其导数 $g'(t) = 3t^2 + 3 > 0$，故 $g(t)$ 严格递增。因此 $x_n < x_{n+1}$，数列严格递增。
公式：g(t) = t^3 + 3t, \quad g'(t) > 0
提示：利用函数单调性比较自变量大小是常用技巧。
步骤 5/6
目标：证明数列有上界
由 $x_n^3 + 3x_n = -\frac{1}{n} < 0$，若 $x_n \geq 0$，则 $x_n^3 + 3x_n \geq 0$，矛盾。故 $x_n < 0$ 对所有 $n$ 成立，即 $0$ 是数列的一个上界。
公式：x_n < 0
提示：注意正数代入 $x^3+3x$ 结果非负，由此推出 $x_n$ 必为负。
步骤 6/6
目标：由单调有界定理得出收敛性
数列 $\{x_n\}$ 严格递增且有上界 $0$，根据单调有界定理，数列收敛。
提示：单调有界定理是实数完备性的基本结论。
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