华东师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $|a| \neq 1$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan (a \tan x)}{\tan x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入参数函数并求导
令 $F(a) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\arctan(a \tan x)}{\tan x} \, dx$。对参数 $a$ 求导，交换积分与求导次序：
$$F'(a) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{\tan x}{1 + a^2 \tan^2 x} \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1 + a^2 \tan^2 x} \, dx$$
公式：F'(a) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{dx}{1 + a^2 \tan^2 x}
提示：注意 $\frac{\partial}{\partial a} \arctan(a \tan x) = \frac{\tan x}{1 + a^2 \tan^2 x}$，且积分区间有限，可交换次序。
步骤 2/6
目标：变量代换化简积分
令 $t = \tan x$，则 $x = \arctan t$，$dx = \frac{dt}{1+t^2}$，当 $x: 0 \to \pi/2$ 时 $t: 0 \to \infty$。代入得：
$$F'(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + a^2 t^2} \cdot \frac{dt}{1+t^2}$$
公式：F'(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{(1 + a^2 t^2)(1+t^2)}
提示：注意 $\tan x$ 在 $x=\pi/2$ 处发散，但代换后积分区间变为无穷，需检查收敛性。
步骤 3/6
目标：部分分式分解被积函数
设 $\frac{1}{(1 + a^2 t^2)(1+t^2)} = \frac{A}{1 + a^2 t^2} + \frac{B}{1+t^2}$，通分比较分子：
$$1 = A(1+t^2) + B(1 + a^2 t^2)$$
比较系数得方程组：
$$\begin{cases} A + B = 1 \\ A + B a^2 = 0 \end{cases}$$
解得 $B = \frac{1}{1 - a^2}$，$A = -\frac{a^2}{1 - a^2} = \frac{a^2}{a^2 - 1}$。
公式：A = \frac{a^2}{a^2-1}, \quad B = \frac{1}{1-a^2}
提示：条件 $|a| \neq 1$ 保证分母不为零，分解有效。
步骤 4/6
目标：分别积分并化简
代入分解式：
$$F'(a) = \frac{a^2}{a^2-1} \int_0^\infty \frac{dt}{1 + a^2 t^2} + \frac{1}{1-a^2} \int_0^\infty \frac{dt}{1 + t^2}$$
已知 $\int_0^\infty \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{\pi}{2}$，且当 $a>0$ 时 $\int_0^\infty \frac{dt}{1 + a^2 t^2} = \frac{\pi}{2a}$。代入得：
$$F'(a) = \frac{a^2}{a^2-1} \cdot \frac{\pi}{2a} + \frac{1}{1-a^2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{a\pi}{2(a^2-1)} - \frac{\pi}{2(a^2-1)} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{a-1}{(a-1)(a+1)} = \frac{\pi}{2(a+1)}$$
公式：F'(a) = \frac{\pi}{2(a+1)}, \quad a>0
提示：此处先假设 $a>0$ 处理，注意 $1-a^2 = -(a^2-1)$ 的符号处理。
步骤 5/6
目标：对 $a$ 积分并确定常数
对 $F'(a)$ 积分：
$$F(a) = \frac{\pi}{2} \ln(a+1) + C$$
令 $a=0$，原积分为 $F(0) = \int_0^{\pi/2} \frac{\arctan(0)}{\tan x} dx = 0$，代入得 $0 = \frac{\pi}{2} \ln 1 + C$，故 $C=0$。因此当 $a>0$ 时：
$$F(a) = \frac{\pi}{2} \ln(1+a)$$
公式：F(a) = \frac{\pi}{2} \ln(1+a), \quad a>0
提示：常数由 $a=0$ 确定，注意 $\ln 1 = 0$。
步骤 6/6
目标：利用奇函数性质推广到 $a<0$
注意到被积函数中 $\arctan(a \tan x)$ 关于 $a$ 是奇函数，故 $F(-a) = -F(a)$。设 $a<0$，令 $b = -a > 0$，则：
$$F(a) = -F(b) = -\frac{\pi}{2} \ln(1+b) = -\frac{\pi}{2} \ln(1 - a)$$
合并两种情况，可统一写为：
$$F(a) = \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(a) \ln(1+|a|)$$
公式：F(a) = \frac{\pi}{2} \operatorname{sgn}(a) \ln(1+|a|)
提示：注意 $a<0$ 时 $1-a > 1$，对数有意义；$|a| \neq 1$ 保证分母不为零。
步骤 7/7
目标：综合结果并写出最终答案
综合 $a>-1$ 和 $a<-1$ 两种情况，并考虑 $|a|\neq1$，最终结果为：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan(a\tan x)}{\tan x} \, dx = \begin{cases}
\frac{\pi}{2}\ln(1+a), & a>-1,\ a\neq1,\\
-\frac{\pi}{2}\ln(1-a), & a<-1.
\end{cases}$$
也可统一写成 $\frac{\pi}{2}\operatorname{sgn}(1+a)\ln|1+a|$，但需注意 $a<-1$ 时 $1+a<0$，$\operatorname{sgn}(1+a)=-1$，$\ln|1+a|=\ln(-1-a)$，而 $-\frac{\pi}{2}\ln(1-a)$ 与 $\frac{\pi}{2}\ln(-1-a)$ 并不相等，故分情况更准确。
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan(a\tan x)}{\tan x} \, dx = \begin{cases} \frac{\pi}{2}\ln(1+a), & a>-1,\ a\neq1,\\ -\frac{\pi}{2}\ln(1-a), & a<-1. \end{cases}
提示：注意 $a$ 的取值范围，$|a|\neq1$ 但 $a$ 可小于 $-1$ 或大于 $-1$，结果形式不同。
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