华东师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．求和函数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}\left(x^{2}-1\right)^{2 n}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量替换简化形式
观察级数中出现的部分为 $(x^2-1)^{2n}$，令 $t = (x^2-1)^2$，则原级数化为：
$$S(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} t^n$$
公式：t = (x^2-1)^2
提示：注意 $t \ge 0$，但先作为形式幂级数处理，最后再考虑收敛域。
步骤 2/6
目标：分解系数中的分母
利用恒等式 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，将级数拆分为两个级数：
$$S(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} t^n - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+1} t^n$$
公式：\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
提示：拆分后注意每个级数的起始项和符号。
步骤 3/6
目标：求和第一个级数
第一个级数即为 $\ln(1+t)$ 的麦克劳林展开：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} t^n = \ln(1+t), \quad |t| < 1$$
公式：\ln(1+t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} t^n
提示：注意收敛区间为 $|t| < 1$，端点需单独讨论。
步骤 4/6
目标：求和第二个级数
令 $m = n+1$，则 $n = m-1$，当 $n=1$ 时 $m=2$，第二个级数化为：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+1} t^n = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^{m-2}}{m} t^{m-1} = \frac{1}{t} \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m} t^m$$
利用 $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m} t^m = -\ln(1+t)$，减去 $m=1$ 项 $-t$ 得：
$$\sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m} t^m = -\ln(1+t) + t$$
因此第二个级数为：
$$\frac{1}{t} (-\ln(1+t) + t) = -\frac{\ln(1+t)}{t} + 1$$
公式：\sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m} t^m = -\ln(1+t)
提示：注意指标变换时符号的变化，以及减去第一项的处理。
步骤 5/6
目标：合并两个级数得到S(t)
将两个结果相减：
$$S(t) = \ln(1+t) - \left( -\frac{\ln(1+t)}{t} + 1 \right) = \ln(1+t) + \frac{\ln(1+t)}{t} - 1$$
整理得：
$$S(t) = \left(1 + \frac{1}{t}\right) \ln(1+t) - 1$$
公式：S(t) = \left(1 + \frac{1}{t}\right) \ln(1+t) - 1
提示：合并时注意符号，避免遗漏。
步骤 6/6
目标：代回原变量并写出最终表达式
将 $t = (x^2-1)^2$ 代回，得：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} (x^2-1)^{2n} = \left(1 + \frac{1}{(x^2-1)^2}\right) \ln\left(1+(x^2-1)^2\right) - 1$$
可进一步整理为：
$$= \frac{(x^2-1)^2+1}{(x^2-1)^2} \ln\left(1+(x^2-1)^2\right) - 1$$
收敛域为 $|x^2-1| < 1$，即 $0 < x^2 < 2$。
公式：\left(1+\frac{1}{(x^2-1)^2}\right)\ln\left(1+(x^2-1)^2\right)-1
提示：注意 $t$ 非负，且 $x^2-1=0$ 时级数退化为0，但表达式需单独处理（极限形式）。
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