华中师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^{3}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2 \sqrt{x})$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简括号内的表达式
令 $A = \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} - 2\sqrt{x}$。分别处理 $\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ 和 $\sqrt{x-1} - \sqrt{x}$：
$$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}, \quad \sqrt{x-1} - \sqrt{x} = \frac{-1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}$$
因此
$$A = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}$$
公式：$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$
提示：注意有理化时分子分母同乘共轭，避免符号错误。
步骤 2/4
目标：合并两个分式并进一步有理化
通分得：
$$A = \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{x}) - (\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})}$$
分子有理化：
$$\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = \frac{(x-1)-(x+1)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}} = \frac{-2}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}$$
因此
$$A = \frac{-2}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})}$$
公式：$\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = \frac{-2}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}$
提示：分子有理化时注意符号，分母三个因式不要遗漏。
步骤 3/4
目标：代入原极限并提取公因式
原极限为：
$$L = \lim_{x\to+\infty} \sqrt{x^3} \cdot A = \lim_{x\to+\infty} \frac{-2\sqrt{x^3}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})}$$
将每个根式中的 $x$ 提取出来：
$$\sqrt{x+1} = \sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{x}},\quad \sqrt{x-1} = \sqrt{x}\sqrt{1-\frac{1}{x}}$$
则分母变为：
$$x^{3/2}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1\right)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)$$
公式：$\sqrt{x+1} = \sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{x}}$
提示：提取公因式时注意每个括号都含有 $\sqrt{x}$，共三个，乘积为 $x^{3/2}$。
步骤 4/4
目标：约去 $x^{3/2}$ 并求极限
分子为 $-2x^{3/2}$，与分母中的 $x^{3/2}$ 约去，得：
$$L = \lim_{x\to+\infty} \frac{-2}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1\right)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}$$
当 $x\to+\infty$ 时，$\frac{1}{x}\to 0$，每个根号趋于1，故：
$$\sqrt{1+0}+1 = 2,\quad \sqrt{1-0}+1 = 2,\quad \sqrt{1-0}+\sqrt{1+0} = 2$$
因此
$$L = \frac{-2}{2\cdot 2\cdot 2} = -\frac{1}{4}$$
公式：$\lim_{x\to+\infty} \sqrt{1+\frac{1}{x}} = 1$
提示：代入极限时注意分母三个因子分别趋于2，乘积为8，不要算错。
步骤 5/5
目标：乘以外部因子√x³，并取极限
外部因子 $\sqrt{x^3} = x^{3/2}$，因此：
$$\sqrt{x^3} \cdot A = x^{3/2} \left( -\frac{1}{4x^{3/2}} + O\left(\frac{1}{x^{5/2}}\right) \right) = -\frac{1}{4} + O\left(\frac{1}{x}\right)$$
当 $x \to +\infty$ 时，$O\left(\frac{1}{x}\right) \to 0$，故极限为 $-\frac{1}{4}$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^3}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x}) = -\frac{1}{4}$
提示：最后一步极限计算中，高阶项 $O(1/x)$ 趋于0，不要忘记处理。
步骤 6/6
目标：严格计算极限，提取公因子并代入求值
提取每个括号中的 \sqrt{x}：
\[
\sqrt{x+1} + \sqrt{x} = \sqrt{x}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1\right)
\]
\[
\sqrt{x-1} + \sqrt{x} = \sqrt{x}\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}} + 1\right)
\]
\[
\sqrt{x-1} + \sqrt{x+1} = \sqrt{x}\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}} + \sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)
\]
分母变为：
\[
x^{3/2} \left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1\right)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)
\]
代入极限表达式并约去 x^{3/2}：
\[
-2 \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+1\right)\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{1+\frac{1}{x}}\right)}
\]
当 x \to +\infty 时，\sqrt{1 \pm \frac{1}{x}} \to 1，分母趋向于 (1+1)(1+1)(1+1)=8，因此极限值为：
\[
-2 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{1}{4}
\]
公式：\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1\right) = 2
提示：提取√x时注意每个括号都要提取，最后约分要仔细。
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