📝 华中师范大学 2023年数学分析真题
第0题
1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^{3}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2 \sqrt{x})$ ．
第0题
2．设 $f(x)=\pi^{2}-x^{2}, x \in(-\pi, \pi]$ ，求 $f$ 的傅里叶级数展开式．
第0题
3．计算积分 $\iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D:\{(x, y) \mid 0 \leq x+y \leq \pi, 0 \leq x-y \leq \pi\}$ ．
第0题
4．计算积分 $\displaystyle \int_{\Gamma}\left(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为方程 $\displaystyle x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ 所确定的曲线．
第0题
5．计算积分 $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $S$ 为方程 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a>0, b>0, c>0)$ 所确定的曲面的上半部分（即 $z \geq 0$ 部分）的上侧．
第0题
七．（15 分）记
$$
C[a, b]=\{f \mid f \text { 为有界区间 }[a, b] \text { 上的连续函数 }\} \text {. }
$$
对任意的 $\displaystyle f \in C[a, b]$ ，另 $\displaystyle T(f)=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
（1）证明：对任意的 $\displaystyle f, g \in C[a, b]$ ，有 $\displaystyle T(f+g) \leq T(f)+T(g)$ ．
（2）设 $\displaystyle C[a, b]$ 中的函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 满足：对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle N>0$ 使得 $\displaystyle m, n>N$ 时，有 $\displaystyle T\left(f_{m}-f_{n}\right)<\varepsilon$ ．证明：存在 $\displaystyle f \in C[a, b]$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} T\left(f-f_{n}\right)=0$ ．
$$
C[a, b]=\{f \mid f \text { 为有界区间 }[a, b] \text { 上的连续函数 }\} \text {. }
$$
对任意的 $\displaystyle f \in C[a, b]$ ，另 $\displaystyle T(f)=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
（1）证明：对任意的 $\displaystyle f, g \in C[a, b]$ ，有 $\displaystyle T(f+g) \leq T(f)+T(g)$ ．
（2）设 $\displaystyle C[a, b]$ 中的函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 满足：对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle N>0$ 使得 $\displaystyle m, n>N$ 时，有 $\displaystyle T\left(f_{m}-f_{n}\right)<\varepsilon$ ．证明：存在 $\displaystyle f \in C[a, b]$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} T\left(f-f_{n}\right)=0$ ．
第0题
三．（15分）设函数 $f$ 在有界区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（1）证明：函数 $f$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界；
（2）试问上述结论对无界区间是否成立？并说明理由．
（1）证明：函数 $f$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界；
（2）试问上述结论对无界区间是否成立？并说明理由．
第0题
二．（10 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二阶可导且 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ ，若 $\displaystyle f(a)>0, f^{\prime}(a)<0$ ，且当 $\displaystyle x>a$ 时，有 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)<0$ ．证明：在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内，方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有唯一解．
第0题
五．（15 分）设函数 $\displaystyle f_{0}$ 在有界区间 $\displaystyle [0, a]$ 上可积，定义函数列
$$
f_{n}(x)=\int_{0}^{x} f_{n-1}(t) \mathrm{d} t, x \in[0, a](n=1,2, \cdots)
$$
证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上一致收敛．
$$
f_{n}(x)=\int_{0}^{x} f_{n-1}(t) \mathrm{d} t, x \in[0, a](n=1,2, \cdots)
$$
证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上一致收敛．
第0题
八．（15 分）设 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x, 0 \leq \alpha \leq b<+\infty$ ．证明：
（1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle I(\alpha)$ 关于 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收敛；
（2）试问 $\displaystyle I(\alpha)$ 关于 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle (0, b)$ 上是否一致收敛，并说明理由．
（1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle I(\alpha)$ 关于 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收敛；
（2）试问 $\displaystyle I(\alpha)$ 关于 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle (0, b)$ 上是否一致收敛，并说明理由．
第0题
六．（15 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{e^{n x}}$ 的收玫域．
第0题
四．（15 分）设函数 $f$ 在有界区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle f(x)>0$ ．证明：
$$
\ln \left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right) \geq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \ln f(x) \mathrm{d} x
$$
$$
\ln \left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right) \geq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \ln f(x) \mathrm{d} x
$$