华中师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设函数 $f$ 在有界区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle f(x)>0$ ．证明：
$$
\ln \left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right) \geq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \ln f(x) \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件和结论
已知函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续且恒正，即 $f(x) > 0$ 对所有 $x \\in [a,b]$。要证明的不等式为：\n$$\n\\ln\\left( \\frac{1}{b-a} \\int_a^b f(x) \\, dx \\right) \\ge \\frac{1}{b-a} \\int_a^b \\ln f(x) \\, dx.\n$$\n左边是函数平均值取对数，右边是对数后取平均。由于对数函数是凹函数，该不等式是Jensen不等式的直接推论。
公式：\\ln\\left( \\frac{1}{b-a} \\int_a^b f(x) \\, dx \\right) \\ge \\frac{1}{b-a} \\int_a^b \\ln f(x) \\, dx
提示：注意 $f(x)>0$ 保证 $\ln f(x)$ 有意义，且积分存在。
步骤 2/5
目标：回忆Jensen不等式（积分形式）
设 $\\phi$ 是区间上的凹函数，$\\mu$ 是一个概率测度，则Jensen不等式指出：\n$$\n\\phi\\left( \\int g \\, d\\mu \\right) \\ge \\int \\phi(g) \\, d\\mu.\n$$\n这里取 $\\phi(t) = \\ln t$，它是凹函数（因为 $\\phi''(t) = -1/t^2 < 0$）。取概率测度为 $\\frac{dx}{b-a}$，即区间上的均匀分布，并取 $g(x) = f(x)$。
公式：\\phi\\left( \\int g \\, d\\mu \\right) \\ge \\int \\phi(g) \\, d\\mu
提示：凹函数的定义是 $\\phi(\\lambda x + (1-\\lambda)y) \\ge \\lambda \\phi(x) + (1-\\lambda) \\phi(y)$，积分形式是其推广。
步骤 3/5
目标：直接应用Jensen不等式得到结论
将 $\\phi(t) = \\ln t$，$\\mu = \\frac{dx}{b-a}$，$g(x) = f(x)$ 代入Jensen不等式，得：\n$$\n\\ln\\left( \\int_a^b f(x) \\cdot \\frac{dx}{b-a} \\right) \\ge \\int_a^b \\ln f(x) \\cdot \\frac{dx}{b-a}.\n$$\n这正是要证明的不等式。
公式：\\ln\\left( \\frac{1}{b-a} \\int_a^b f(x) \\, dx \\right) \\ge \\frac{1}{b-a} \\int_a^b \\ln f(x) \\, dx
提示：注意积分测度是概率测度，即 $\\int_a^b \\frac{dx}{b-a} = 1$。
步骤 4/5
目标：给出一个更初等的证明（利用指数函数的凸性）
考虑函数 $\\varphi(t) = e^t$，它是凸函数（因为 $\\varphi''(t) = e^t > 0$）。由凸函数的Jensen不等式：\n$$\n\\exp\\left( \\frac{1}{b-a} \\int_a^b \\ln f(x) \\, dx \\right) \\le \\frac{1}{b-a} \\int_a^b \\exp(\\ln f(x)) \\, dx = \\frac{1}{b-a} \\int_a^b f(x) \\, dx.\n$$\n两边取自然对数（对数函数单调递增），得：\n$$\n\\frac{1}{b-a} \\int_a^b \\ln f(x) \\, dx \\le \\ln\\left( \\frac{1}{b-a} \\int_a^b f(x) \\, dx \\right),\n$$\n即原不等式。
公式：\\exp\\left( \\frac{1}{b-a} \\int_a^b \\ln f(x) \\, dx \\right) \\le \\frac{1}{b-a} \\int_a^b f(x) \\, dx
提示：这里利用了 $\\exp(\\ln f(x)) = f(x)$，且凸函数的Jensen不等式方向与凹函数相反。
步骤 5/5
目标：讨论等号成立条件
由Jensen不等式的等号条件，对于凹函数 $\\ln t$，等号成立当且仅当 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处为常数。由于 $f$ 连续，因此等号成立当且仅当 $f$ 是常函数，即存在常数 $c>0$ 使得 $f(x)=c$ 对所有 $x \\in [a,b]$。
公式：f(x) \\equiv c \\quad (c>0)
提示：连续函数几乎处处相等意味着处处相等，因此等号条件简化为常函数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。