华中师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）设函数 $\displaystyle f_{0}$ 在有界区间 $\displaystyle [0, a]$ 上可积，定义函数列
$$
f_{n}(x)=\int_{0}^{x} f_{n-1}(t) \mathrm{d} t, x \in[0, a](n=1,2, \cdots)
$$
证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件并设定初始函数的上界
已知函数 $f_0$ 在闭区间 $[0, a]$ 上可积，因此 $f_0$ 在该区间上有界。设 $M = \sup_{t \in [0, a]} |f_0(t)| < +\infty$。定义函数列 $f_n(x) = \int_0^x f_{n-1}(t) \, dt$，$x \in [0, a]$，$n = 1, 2, \dots$。
公式：$M = \sup_{t \in [0, a]} |f_0(t)|$
提示：可积函数在有界闭区间上必有界，这是后续放缩的基础。
步骤 2/4
目标：用数学归纳法建立 $|f_n(x)|$ 的上界估计
当 $n=1$ 时，$|f_1(x)| = \left| \int_0^x f_0(t) \, dt \right| \leq \int_0^x |f_0(t)| \, dt \leq M x$。假设 $|f_{n-1}(x)| \leq M \frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$ 成立，则 $|f_n(x)| \leq \int_0^x |f_{n-1}(t)| \, dt \leq \int_0^x M \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \, dt = M \frac{x^n}{n!}$。由数学归纳法，对所有 $n \geq 1$ 和 $x \in [0, a]$ 有 $|f_n(x)| \leq M \frac{a^n}{n!}$。
公式：$|f_n(x)| \leq M \frac{a^n}{n!}$
提示：归纳步骤中注意积分上限 $x \leq a$，因此最终放缩到 $a^n$。
步骤 3/4
目标：利用上界估计证明一致收敛性
由 $|f_n(x)| \leq M \frac{a^n}{n!}$ 可知，该上界与 $x$ 无关。由于级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!} = e^a$ 收敛，故通项趋于零：$\lim_{n \to \infty} M \frac{a^n}{n!} = 0$。对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N$ 时，$M \frac{a^n}{n!} < \varepsilon$，从而对所有 $x \in [0, a]$ 有 $|f_n(x) - 0| < \varepsilon$。这说明 $f_n$ 在 $[0, a]$ 上一致收敛于零函数。
公式：$\lim_{n \to \infty} M \frac{a^n}{n!} = 0$
提示：一致收敛要求 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$，这里上界与 $x$ 无关，正好满足条件。
步骤 4/4
目标：总结结论
因此，函数列 $\{f_n\}$ 在 $[0, a]$ 上一致收敛，且极限函数为 $f(x) \equiv 0$。
公式：$f_n(x) \rightrightarrows 0$ 在 $[0, a]$ 上
提示：注意极限函数是零函数，但题目只要求证明一致收敛，不要求求出极限函数。
步骤 5/6
目标：利用级数收敛性证明一致收敛
考虑级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n}{n!}=e^a$ 收敛，故通项 $\frac{a^n}{n!}\to 0$。因此对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$M\frac{a^n}{n!}<\varepsilon$。从而对所有 $x\in[0,a]$，$|f_n(x)-0|\le M\frac{a^n}{n!}<\varepsilon$。这表明 $\{f_n\}$ 一致收敛到零函数。
公式：\lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0
提示：一致收敛的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 与 $x$ 无关。
步骤 6/6
目标：得出结论
函数列 $\{f_n\}$ 在 $[0,a]$ 上一致收敛于零函数。
公式：f_n(x)\rightrightarrows 0
提示：极限函数是零函数，但证明的关键在于上界的控制。
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