华中师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．计算积分 $\iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D:\{(x, y) \mid 0 \leq x+y \leq \pi, 0 \leq x-y \leq \pi\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量替换，简化积分区域
令 $u = x + y$, $v = x - y$，则区域 $D$ 变为 $0 \le u \le \pi$, $0 \le v \le \pi$，即 $uv$ 平面上的正方形区域。
公式：$u = x + y$, $v = x - y$
提示：注意变量替换后区域边界要对应准确，$u$ 和 $v$ 的范围由原不等式直接得到。
步骤 2/6
目标：反解 $x, y$ 并计算雅可比行列式
由 $u = x + y$, $v = x - y$ 解得 $x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$。雅可比行列式为
\[
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}
\]
取绝对值，面积元变换关系为 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$。
公式：$\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$
提示：雅可比行列式要取绝对值，注意计算时符号不要出错。
步骤 3/6
目标：变换被积函数
原被积函数 $(x+y)\sin(x-y)$ 变为 $u \sin v$。
公式：$(x+y)\sin(x-y) = u \sin v$
提示：直接代入 $u$ 和 $v$ 的定义即可，注意 $x-y = v$。
步骤 4/6
目标：写出变换后的二重积分
积分变为
\[
I = \iint_{0\le u\le\pi,\,0\le v\le\pi} u \sin v \cdot \frac{1}{2} \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v
\]
公式：$I = \frac12 \iint_{[0,\pi]\times[0,\pi]} u \sin v \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$
提示：不要漏掉雅可比因子 $\frac12$。
步骤 5/6
目标：分离变量并计算积分
由于被积函数可分离，有
\[
I = \frac12 \left( \int_0^\pi u \,\mathrm{d}u \right) \left( \int_0^\pi \sin v \,\mathrm{d}v \right)
\]
分别计算：
\[
\int_0^\pi u \,\mathrm{d}u = \frac{\pi^2}{2}, \quad \int_0^\pi \sin v \,\mathrm{d}v = \left[-\cos v\right]_0^\pi = 2
\]
因此
\[
I = \frac12 \cdot \frac{\pi^2}{2} \cdot 2 = \frac{\pi^2}{2}
\]
公式：$\int_0^\pi u \,\mathrm{d}u = \frac{\pi^2}{2}$, $\int_0^\pi \sin v \,\mathrm{d}v = 2$
提示：计算 $\int_0^\pi \sin v \,\mathrm{d}v$ 时注意 $\cos\pi = -1$，$\cos 0 = 1$，差值为 $2$。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
原积分的值为 $\frac{\pi^2}{2}$。
公式：$\boxed{\frac{\pi^2}{2}}$
提示：最终结果要化简，不要保留多余因子。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
原积分 $= \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{2} \cdot 2 = \frac{\pi^2}{2}$。
提示：最后结果要化简。
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