华中师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）记
$$
C[a, b]=\{f \mid f \text { 为有界区间 }[a, b] \text { 上的连续函数 }\} \text {. }
$$
对任意的 $\displaystyle f \in C[a, b]$ ，另 $\displaystyle T(f)=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．
（1）证明：对任意的 $\displaystyle f, g \in C[a, b]$ ，有 $\displaystyle T(f+g) \leq T(f)+T(g)$ ．
（2）设 $\displaystyle C[a, b]$ 中的函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 满足：对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle N>0$ 使得 $\displaystyle m, n>N$ 时，有 $\displaystyle T\left(f_{m}-f_{n}\right)<\varepsilon$ ．证明：存在 $\displaystyle f \in C[a, b]$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} T\left(f-f_{n}\right)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明三角不等式 T(f+g) ≤ T(f) + T(g)
对于任意固定的 $x \in [a,b]$，由绝对值不等式有 $|f(x)+g(x)| \le |f(x)| + |g(x)|$。又因为 $|f(x)| \le \max_{x \in [a,b]} |f(x)| = T(f)$，$|g(x)| \le T(g)$，所以 $|f(x)+g(x)| \le T(f) + T(g)$ 对任意 $x$ 成立。取 $x$ 上的最大值，得 $\max_{x \in [a,b]} |f(x)+g(x)| \le T(f) + T(g)$，即 $T(f+g) \le T(f) + T(g)$。
公式：|f(x)+g(x)| \le |f(x)| + |g(x)| \le T(f) + T(g) \Rightarrow T(f+g) \le T(f) + T(g)
提示：注意最大值不等式方向：若对所有 x 有 h(x) ≤ M，则 max h(x) ≤ M。
步骤 2/4
目标：由柯西条件推出逐点收敛，定义极限函数 f
对任意固定的 $x_0 \in [a,b]$，由 $|f_m(x_0) - f_n(x_0)| \le \max_{x \in [a,b]} |f_m(x) - f_n(x)| = T(f_m - f_n) < \varepsilon$（当 $m,n > N$），知 $\{f_n(x_0)\}$ 是实数柯西列，故收敛。定义 $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x)$，$x \in [a,b]$。
公式：|f_m(x_0) - f_n(x_0)| \le T(f_m - f_n) < \varepsilon
提示：逐点收敛的构造依赖于每个点处数列的柯西性。
步骤 3/4
目标：证明一致收敛性：T(f - f_n) → 0
由柯西条件：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $m,n > N$ 时，对所有 $x$ 有 $|f_m(x) - f_n(x)| < \varepsilon$。固定 $n > N$，令 $m \to \infty$，则对每个 $x$ 有 $|f(x) - f_n(x)| \le \varepsilon$。因此当 $n > N$ 时，$\max_{x \in [a,b]} |f(x) - f_n(x)| \le \varepsilon$，即 $T(f - f_n) \le \varepsilon$，故 $\lim_{n \to \infty} T(f - f_n) = 0$。
公式：|f(x) - f_n(x)| = \lim_{m \to \infty} |f_m(x) - f_n(x)| \le \varepsilon \Rightarrow T(f - f_n) \le \varepsilon
提示：一致收敛的关键在于不等式对 x 一致成立，且极限过程与 x 无关。
步骤 4/4
目标：证明极限函数 f 连续，从而 f ∈ C[a,b]
每个 $f_n$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f_n$ 一致收敛到 $f$。一致收敛的极限函数在闭区间上连续，因此 $f \in C[a,b]$。
公式：f_n \in C[a,b],\ f_n \rightrightarrows f \Rightarrow f \in C[a,b]
提示：闭区间上一致收敛保持连续性，这是分析中的标准结论。
步骤 5/5
目标：证明 $T(f-f_n) \to 0$
由一致收敛的定义，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使得当 $n>N$ 时，对所有 $x \in [a,b]$ 有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$。因此 $\max_{x \in [a,b]} |f_n(x)-f(x)| < \varepsilon$，即 $T(f-f_n) < \varepsilon$。所以 $\lim_{n \to \infty} T(f-f_n)=0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \max_{x \in [a,b]} |f_n(x)-f(x)| = 0
提示：注意 $T(f-f_n)$ 就是一致收敛的度量。
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