华中师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
三．（15分）设函数 $f$ 在有界区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（1）证明：函数 $f$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界；
（2）试问上述结论对无界区间是否成立？并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与待证结论
已知函数 $f$ 在有界区间 $(a,b)$ 上一致连续，要证明 $f$ 在 $(a,b)$ 上有界。
提示：注意区间有界是前提，一致连续是条件。
步骤 2/6
目标：利用一致连续定义取定参数
由一致连续定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。取 $\varepsilon=1$，则存在相应的 $\delta_0>0$。
公式：$\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\forall x_1,x_2\in(a,b),|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$
提示：取 $\varepsilon=1$ 是为了后续得到有界性。
步骤 3/6
目标：用有限个小区间覆盖有界区间
由于区间 $(a,b)$ 有界，其长度有限。取分点 $a
公式：$x_{k+1}-x_k<\delta_0,\quad k=0,1,\dots,n-1$
提示：覆盖性保证每个点都落在某个小区间内。
步骤 4/6
目标：利用一致连续性控制函数值
对任意 $x\in(a,b)$，存在某个 $k$ 使得 $x\in[x_k,x_{k+1}]$（端点可适当延拓）。由一致连续性，$|f(x)-f(x_k)|<1$，因此 $|f(x)|\le |f(x_k)|+1$。
公式：$|f(x)|\le |f(x_k)|+1$
提示：注意 $x_k$ 是固定分点，其函数值为有限数。
步骤 5/6
目标：构造上界并完成证明
令 $M=\max\{|f(x_0)|,|f(x_1)|,\dots,|f(x_n)|\}+1$，则对任意 $x\in(a,b)$，有 $|f(x)|\le M$，故 $f$ 在 $(a,b)$ 上有界。
公式：$M=\max_{0\le k\le n}|f(x_k)|+1$
提示：最大值存在是因为只有有限个分点。
步骤 6/6
目标：讨论无界区间的情形
结论不成立。反例：$f(x)=x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续（取 $\delta=\varepsilon$ 即可），但显然无界。
公式：$|f(x_1)-f(x_2)|=|x_1-x_2|$
提示：无界区间上一致连续不能保证有界，关键在于区间长度无限。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，有界区间上一致连续函数必有界，但无界区间上不一定。
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