华中师范大学 2023年数学分析第0题

对于周期为 \(2\pi\) 的函数，傅里叶级数形式为 \[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \] 其中系数公式为 \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \]

由于 \(f(x) = \pi^2 - x^2\) 是偶函数，积分区间对称，可简化计算： \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\pi^2 - x^2) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - x^2) \, dx \] 计算积分： \[ \int_{0}^{\pi} \pi^2 \, dx = \pi^3, \quad \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx = \frac{\pi^3}{3} \] 所以 \[ \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - x^2) dx = \pi^3 - \frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^3}{3} \] 于是 \[ a_0 = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2\pi^3}{3} = \frac{4\pi^2}{3} \]

因为 \(f(x)\) 是偶函数，\(\sin(nx)\) 是奇函数，所以 \(b_n = 0\)。余弦系数： \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (\pi^2 - x^2) \cos(nx) \, dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\pi^2 - x^2) \cos(nx) \, dx \] 先计算 \(\int_{0}^{\pi} \pi^2 \cos(nx) \, dx = \pi^2 \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = 0\)，所以 \[ a_n = -\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx \] 用分部积分法：令 \(u = x^2\)，\(dv = \cos(nx) dx\)，则 \(du = 2x dx\)，\(v = \frac{\sin(nx)}{n}\)，得 \[ \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) dx = \left[ x^2 \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{2x \sin(nx)}{n} dx \] 第一项代入上下限均为0，故 \[ \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) dx = -\frac{2}{n} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx \] 再对 \(\int x \sin(nx) dx\) 分部积分：令 \(u = x\)，\(dv = \sin(nx) dx\)，则 \(du = dx\)，\(v = -\frac{\cos(nx)}{n}\)，得 \[ \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx = \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \frac{\cos(nx)}{n} dx \] 第一项：在 \(x=\pi\) 时为 \(-\frac{\pi \cos(n\pi)}{n} = -\frac{\pi (-1)^n}{n}\)，在 \(x=0\) 时为0；第二项积分为0。所以 \[ \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) dx = -\frac{\pi (-1)^n}{n} \] 代回得 \[ \int_{0}^{\pi} x^2 \cos(nx) dx = -\frac{2}{n} \cdot \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} \] 于是 \[ a_n = -\frac{2}{\pi} \cdot \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} = -\frac{4 (-1)^n}{n^2} \]

由于 \(b_n = 0\)，级数只有常数项和余弦项： \[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx) \] 代入 \(\frac{a_0}{2} = \frac{2\pi^2}{3}\) 和 \(a_n = -\frac{4(-1)^n}{n^2}\)，得 \[ f(x) \sim \frac{2\pi^2}{3} - 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx) \]

在 \(x \in (-\pi, \pi)\) 内，函数 \(f(x)=\pi^2-x^2\) 连续，傅里叶级数收敛到函数值。在端点 \(x = \pm\pi\) 处，由于函数定义在 \((-\pi,\pi]\) 上且 \(f(\pi)=0\)，周期延拓后左右极限均为0，函数连续，因此级数在整个闭区间 \([-\pi,\pi]\) 上收敛到 \(f(x)\)。最终傅里叶级数展开式为 \[ f(x) = \pi^2 - x^2 = \frac{2\pi^2}{3} - 4\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx), \quad x \in (-\pi,\pi] \]

计算 $\int_0^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx$： 在 $x=\pi$ 时，$\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$；在 $x=0$ 时，$\sin(0)=0$，$\cos(0)=1$。 - 第一项：$\left. \frac{x^2 \sin(nx)}{n} \right|_0^{\pi} = 0$ - 第二项：$\left. \frac{2x \cos(nx)}{n^2} \right|_0^{\pi} = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} - 0 = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2}$ - 第三项：$\left. -\frac{2\sin(nx)}{n^3} \right|_0^{\pi} = 0$ 因此 $$\int_0^{\pi} x^2 \cos(nx) \, dx = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2}$$

将定积分结果代入 $a_n$： $$a_n = -\frac{2}{\pi} \cdot \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} = -\frac{4(-1)^n}{n^2}$$

由 $\frac{a_0}{2} = \frac{2\pi^2}{3}$ 和 $a_n = -\frac{4(-1)^n}{n^2}$，得： $$f(x) \sim \frac{2\pi^2}{3} - 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$$ 由于函数在 $x=\pm\pi$ 处连续（$f(\pi)=0$，周期延拓后左极限也为0），级数一致收敛，等号成立。