华中师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
二．（10 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二阶可导且 $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ ，若 $\displaystyle f(a)>0, f^{\prime}(a)<0$ ，且当 $\displaystyle x>a$ 时，有 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)<0$ ．证明：在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内，方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有唯一解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知条件，得出导函数单调性
已知当 $x > a$ 时，$f''(x) < 0$，因此导函数 $f'(x)$ 在区间 $(a, +\infty)$ 上严格递减。又已知 $f'(a) < 0$，故对任意 $x > a$，有 $f'(x) < f'(a) < 0$。
公式：f'(x) < f'(a) < 0, \quad \forall x > a
提示：注意二阶导小于零是导函数递减的充要条件，不要混淆为原函数递减。
步骤 2/5
目标：证明函数严格递减
由第一步知，在 $(a, +\infty)$ 上 $f'(x) < 0$ 恒成立，因此函数 $f(x)$ 在该区间上严格单调递减。
公式：f'(x) < 0 \Rightarrow f(x) \text{严格递减}
提示：严格递减意味着任意两点 $x_1 < x_2$ 都有 $f(x_1) > f(x_2)$。
步骤 3/5
目标：证明存在零点
由于 $f'(t) \leq f'(a) < 0$，对任意 $x > a$，由积分形式得 $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t) \, dt \leq f(a) + f'(a)(x - a)$。因为 $f'(a) < 0$，当 $x$ 充分大时，右端为负，故存在 $X > a$ 使得 $f(X) < 0$。又 $f(a) > 0$，由连续函数的介值定理，存在 $x_0 \in (a, X)$ 使得 $f(x_0) = 0$。
公式：f(x) \leq f(a) + f'(a)(x - a), \quad \lim_{x \to +\infty} [f(a) + f'(a)(x - a)] = -\infty
提示：这里用到了积分形式的估计，也可以直接用拉格朗日中值定理得到类似不等式。
步骤 4/5
目标：证明零点的唯一性
由第二步知，函数 $f(x)$ 在 $(a, +\infty)$ 上严格递减，因此至多有一个零点。结合第三步已证存在零点，故零点唯一。
公式：\text{严格单调函数至多有一个零点}
提示：唯一性证明中，严格单调性是关键，不能仅用单调性（非严格）保证唯一性。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上，在 $(a, +\infty)$ 内，方程 $f(x) = 0$ 有且仅有一个解。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合存在性和唯一性，在 $(a, +\infty)$ 内，方程 $f(x)=0$ 有且仅有一个解。
提示：注意题目要求证明的是“唯一解”，即存在且唯一，两个部分缺一不可。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，在 $(a, +\infty)$ 内，方程 $f(x)=0$ 有且仅有一个解。
提示：证明完成，注意检查所有条件是否用上。
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