华中师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{e^{n x}}$ 的收玫域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：改写级数形式
将原级数改写为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} \sin(nx)$，以便于分析。
公式：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{e^{nx}} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} \sin(nx)$
提示：注意 $e^{nx}$ 在分母，改写后指数为负，便于讨论收敛性。
步骤 2/5
目标：利用绝对值不等式判断绝对收敛区间
由于 $|\sin(nx)| \le 1$，有 $\left| e^{-nx} \sin(nx) \right| \le e^{-nx}$。而 $\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}$ 是公比为 $e^{-x}$ 的等比级数，当 $e^{-x} < 1$ 即 $x > 0$ 时收敛，故原级数在 $x > 0$ 时绝对收敛。
公式：$\left| e^{-nx} \sin(nx) \right| \le e^{-nx}$，$\sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}$ 收敛当且仅当 $e^{-x} < 1$
提示：等比级数收敛条件：公比绝对值小于1，这里 $e^{-x}>0$，所以只需 $e^{-x}<1$。
步骤 3/5
目标：检查边界点 x=0
当 $x=0$ 时，$\sin(n \cdot 0)=0$，$e^{n \cdot 0}=1$，每一项均为0，级数收敛于0。
公式：$\sin(0)=0$，$e^0=1$
提示：边界点需单独验证，不能直接由比较法得出。
步骤 4/5
目标：检查 x<0 的情况
当 $x<0$ 时，令 $x=-t$，$t>0$，则通项为 $\frac{\sin(-nt)}{e^{-nt}} = -e^{nt} \sin(nt)$。其绝对值 $e^{nt}|\sin(nt)|$ 随 $n$ 指数增长，且 $\sin(nt)$ 不恒为零，故通项不趋于0，级数发散。
公式：$\frac{\sin(-nt)}{e^{-nt}} = -e^{nt} \sin(nt)$
提示：收敛的必要条件是通项趋于0，这里通项无界，故发散。
步骤 5/5
目标：综合收敛域
由以上讨论：$x>0$ 绝对收敛，$x=0$ 收敛，$x<0$ 发散，故收敛域为 $x \ge 0$，即 $[0, +\infty)$。
公式：收敛域：$[0, +\infty)$
提示：注意 $x=0$ 是边界点，已单独验证。
步骤 6/6
目标：综合收敛域
由以上分析，级数在 $x \geq 0$ 时收敛，在 $x < 0$ 时发散。因此收敛域为 $[0, +\infty)$。
提示：收敛域包括边界点 $x=0$。
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