华中师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5．计算积分 $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $S$ 为方程 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a>0, b>0, c>0)$ 所确定的曲面的上半部分（即 $z \geq 0$ 部分）的上侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解积分形式与曲面的方向
题目要求计算第二类曲面积分 $\iint_{S} x^{3} \, dy \, dz$，其中 $S$ 是椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的上半部分（$z \geq 0$），取上侧。这里 $dy \, dz$ 表示积分元对应 $yOz$ 平面上的投影，符号由曲面的侧（法向量方向）决定。上侧意味着法向量指向外侧且与 $z$ 轴正方向成锐角。
公式：\iint_{S} P \, dy \, dz = \pm \iint_{D} P(x(y,z), y, z) \, dy \, dz
提示：注意第二类曲面积分中，投影到坐标平面时，符号取决于法向量的方向与坐标轴正向的夹角。
步骤 2/6
目标：利用对称性分析积分
被积函数 $x^3$ 是奇函数。上半椭球面关于 $x=0$ 对称，分为 $x>0$ 和 $x<0$ 两部分。对于 $x>0$ 部分，外侧法向量的 $x$ 分量为正，$x^3>0$，乘积为正；对于 $x<0$ 部分，外侧法向量的 $x$ 分量为负，$x^3<0$，乘积也为正（负负得正）。因此两部分贡献相同，总积分等于 $x>0$ 部分积分的两倍。
公式：\iint_{S} x^{3} \, dy \, dz = 2 \iint_{S_{+}} x^{3} \, dy \, dz
提示：不要误以为奇函数在对称区域上积分为零，因为这里涉及法向量方向，符号会抵消。
步骤 3/6
目标：将 $x>0$ 部分曲面投影到 $yOz$ 平面
对于 $x>0$ 部分，曲面可表示为 $x = a \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}}}$，其中 $(y,z)$ 属于椭圆区域 $D: \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1, \, z \geq 0$。由于外侧法向的 $x$ 分量为正，投影到 $yOz$ 平面时取正号，因此积分化为：
\[ \iint_{S_{+}} x^{3} \, dy \, dz = \iint_{D} \left( a \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}}} \right)^{3} \, dy \, dz \]
公式：x = a \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{z^{2}}{c^{2}}}, \quad D: \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1, \, z \geq 0
提示：投影时注意曲面的单值性，这里 $x>0$ 部分对应单值函数。
步骤 4/6
目标：变量替换简化积分
令 $y = b r \cos \theta$, $z = c r \sin \theta$，则雅可比行列式为 $|J| = b c r$。区域 $D$ 对应 $0 \leq r \leq 1$, $0 \leq \theta \leq \pi$（因为 $z \geq 0$）。被积函数变为 $a^{3} (1 - r^{2})^{3/2}$。于是：
\[ \iint_{S_{+}} x^{3} \, dy \, dz = \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{1} a^{3} (1 - r^{2})^{3/2} \cdot b c r \, dr \, d\theta \]
公式：y = b r \cos \theta, \quad z = c r \sin \theta, \quad |J| = b c r
提示：注意 $\theta$ 的范围是 $0$ 到 $\pi$，因为 $z \geq 0$ 对应 $\sin \theta \geq 0$。
步骤 5/6
目标：计算积分
先对 $\theta$ 积分得 $\pi$。再对 $r$ 积分：令 $u = 1 - r^{2}$，则 $du = -2r \, dr$，$r \, dr = -\frac{1}{2} du$。当 $r=0$ 时 $u=1$，$r=1$ 时 $u=0$，于是：
\[ \int_{0}^{1} (1 - r^{2})^{3/2} r \, dr = \int_{1}^{0} u^{3/2} \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{3/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5} \]
因此 $\iint_{S_{+}} x^{3} \, dy \, dz = \pi \cdot a^{3} b c \cdot \frac{1}{5} = \frac{\pi a^{3} b c}{5}$。
公式：\int_{0}^{1} (1 - r^{2})^{3/2} r \, dr = \frac{1}{5}
提示：换元时注意积分限的变化，不要遗漏负号。
步骤 6/6
目标：得到最终结果
由于 $x<0$ 部分贡献相同，总积分为 $x>0$ 部分的两倍：
\[ \iint_{S} x^{3} \, dy \, dz = 2 \times \frac{\pi a^{3} b c}{5} = \frac{2\pi a^{3} b c}{5} \]
公式：\boxed{\frac{2\pi a^{3} b c}{5}}
提示：最终结果应包含 $a, b, c$ 的幂次，注意检查系数。
步骤 7/7
目标：代回原积分得到最终结果
由高斯公式，
$$
\iint_{S} x^3 \,dy\,dz = 3 \iiint_{V} x^2 \,dV = 3 \cdot \frac{2\pi a^3 b c}{15} = \frac{2\pi a^3 b c}{5}.
$$
因此，所求积分为 $\frac{2\pi a^3 b c}{5}$。
提示：不要忘记乘以3。
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