华中师范大学 2023年数学分析第0题

曲线方程为 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \ (a>0)$，这是星形线（astroid），关于 $x$ 轴、$y$ 轴和原点对称。被积函数 $x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ 在四个象限形式相同，因此可先计算第一象限部分，再乘以 4。

采用三角参数化：令 $x = a \cos^3 t,\ y = a \sin^3 t$，其中 $t \in [0, 2\pi)$。验证：$x^{2/3} = a^{2/3} \cos^2 t,\ y^{2/3} = a^{2/3} \sin^2 t$，相加得 $a^{2/3}(\cos^2 t + \sin^2 t) = a^{2/3}$，满足方程。

求导：$x'(t) = -3a \cos^2 t \sin t$，$y'(t) = 3a \sin^2 t \cos t$。计算 $[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 = 9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t$。因此 $ds = \sqrt{9a^2 \cos^2 t \sin^2 t}\, dt = 3a |\cos t \sin t|\, dt$。在第一象限 $t \in [0, \pi/2]$ 时，$\cos t, \sin t \ge 0$，绝对值可去掉，得 $ds = 3a \cos t \sin t\, dt$。

被积函数 $x^{4/3} + y^{4/3} = (a \cos^3 t)^{4/3} + (a \sin^3 t)^{4/3} = a^{4/3}(\cos^4 t + \sin^4 t)$。

第一象限对应 $t \in [0, \pi/2]$，弧长微元 $ds = 3a \cos t \sin t\, dt$，于是第一象限积分 $I_1 = \int_0^{\pi/2} a^{4/3}(\cos^4 t + \sin^4 t) \cdot 3a \cos t \sin t\, dt = 3a^{7/3} \int_0^{\pi/2} (\cos^4 t + \sin^4 t) \cos t \sin t\, dt$。

拆分为两项：$I_1 = 3a^{7/3} \left( \int_0^{\pi/2} \cos^5 t \sin t\, dt + \int_0^{\pi/2} \sin^5 t \cos t\, dt \right)$。计算第一个积分：令 $u = \cos t$，则 $du = -\sin t\, dt$，当 $t=0$ 时 $u=1$，$t=\pi/2$ 时 $u=0$，得 $\int_0^{\pi/2} \cos^5 t \sin t\, dt = \int_1^0 u^5 (-du) = \int_0^1 u^5\, du = \frac{1}{6}$。同理第二个积分令 $v = \sin t$，结果也为 $\frac{1}{6}$。括号内和为 $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$，因此 $I_1 = 3a^{7/3} \cdot \frac{1}{3} = a^{7/3}$。

曲线关于 $x$ 轴和 $y$ 轴对称，且被积函数 $x^{4/3} + y^{4/3}$ 在四个象限取值相同，因此整个曲线积分等于第一象限部分的 4 倍：$I = 4I_1 = 4a^{7/3}$。

因此，所求曲线积分为 $\displaystyle \int_{\Gamma} \left( x^{\frac{4}{3}} + y^{\frac{4}{3}} \right) \mathrm{d}s = 4a^{\frac{7}{3}}$。