华中师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x, 0 \leq \alpha \leq b<+\infty$ ．证明：
（1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle I(\alpha)$ 关于 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收敛；
（2）试问 $\displaystyle I(\alpha)$ 关于 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle (0, b)$ 上是否一致收敛，并说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分形式和问题背景
题目给出含参变量反常积分 $I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x$，其中 $0 \leq \alpha \leq b<+\infty$。该积分在 $\alpha>0$ 时条件收敛，值为 $\frac{\pi}{2}$，在 $x=0$ 处被积函数有可去奇点（$\lim_{x\to 0}\frac{\sin\alpha x}{x}=\alpha$）。一致收敛性需考虑无穷远处的行为。
公式：I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x
提示：注意 $\alpha=0$ 时积分恒为0，但 $\alpha>0$ 时积分条件收敛，需区分处理。
步骤 2/6
目标：证明（1）：将无穷积分转化为标准形式
对于任意 $\alpha>0$，作变量代换 $t=\alpha x$，则 $\int_{A}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x = \int_{\alpha A}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$。由于 $\alpha \in [a,b]$ 且 $a>0$，有 $\alpha A \geq aA$。
公式：\int_{A}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x = \int_{\alpha A}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t
提示：变量代换后下限依赖于 $\alpha$，需利用 $\alpha$ 的下界 $a>0$ 来统一控制。
步骤 3/6
目标：证明（1）：利用已知余项估计证明一致收敛
已知 $\int_{u}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ 当 $u\to+\infty$ 时趋于0，且对任意 $\varepsilon>0$，存在 $U>0$ 使得当 $u>U$ 时 $\left|\int_{u}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\right|<\varepsilon$。取 $X=U/a$，则当 $A>X$ 时，对一切 $\alpha\in[a,b]$ 有 $\alpha A \geq aA > U$，从而 $\left|\int_{A}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x\right|<\varepsilon$。这证明无穷远处关于 $\alpha$ 一致收敛。
公式：\forall\varepsilon>0,\exists X=\frac{U}{a}>0,\forall A>X,\forall\alpha\in[a,b]:\left|\int_{A}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x\right|<\varepsilon
提示：关键在于 $a>0$ 保证 $\alpha A$ 可以随 $A$ 一致地趋于无穷。
步骤 4/6
目标：证明（1）：处理有限区间并完成证明
在有限区间 $[0,X]$ 上，补充定义 $f(x,\alpha)=\frac{\sin\alpha x}{x}$ 在 $x=0$ 处为 $\alpha$，则 $f$ 在闭矩形 $[0,X]\times[a,b]$ 上连续，从而一致连续，因此 $\int_{0}^{X} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x$ 关于 $\alpha$ 一致收敛。结合无穷远处的一致收敛性，得到 $I(\alpha)$ 在 $[a,b]$（从而在 $(a,b)$）上一致收敛。
公式：\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x = \int_{0}^{X} + \int_{X}^{+\infty}
提示：有限区间上利用连续函数在紧集上的一致连续性，这是处理含参积分一致收敛的常用技巧。
步骤 5/6
目标：证明（2）：分析 $(0,b)$ 上不一致收敛的原因
考虑 $\alpha$ 趋近于0的情形。取 $\alpha_n = \frac{1}{n}$，$A_n = n$，则 $\alpha_n A_n = 1$。于是 $\left|\int_{A_n}^{+\infty} \frac{\sin \alpha_n x}{x} \mathrm{~d} x\right| = \left|\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\right| = C > 0$（常数）。若 $I(\alpha)$ 在 $(0,b)$ 上一致收敛，则对 $\varepsilon = C/2$，存在与 $\alpha$ 无关的 $X$ 使得当 $A>X$ 时对所有 $\alpha\in(0,b)$ 有 $\left|\int_{A}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x\right|X$ 时 $A_n=n>X$，却得到 $C
公式：\left|\int_{n}^{+\infty} \frac{\sin (x/n)}{x} \mathrm{~d} x\right| = \left|\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\right| = \text{常数}>0
提示：关键点是当 $\alpha$ 很小时，$\alpha A$ 可以保持有界，导致余项无法一致小。
步骤 6/6
目标：证明（2）：给出结论
由反证法可知，$I(\alpha)$ 在 $(0,b)$ 上不一致收敛。直观原因是 $\alpha\to 0^+$ 时，积分收敛速度变慢，无法找到统一的 $A$ 控制所有 $\alpha$ 的尾部积分。
提示：注意区分一致收敛与逐点收敛：逐点收敛成立，但一致收敛不成立，因为 $\alpha=0$ 是边界点且 $\alpha$ 可任意接近0。
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