华中师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
一．计算题．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} x^{-4}\left(\cos x-e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)$ ．
（2）求由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=x+y$ 所围成的立体图形的体积．
（3）计算曲面积分
$$
\iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 是由 $\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围立体的表面，取外侧为正向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：将函数展开为泰勒级数至足够高阶
将 $\cos x$ 和 $e^{-\frac{x^2}{2}}$ 分别展开至 $x^4$ 项：
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + O(x^8)$$
$$e^{-\frac{x^2}{2}} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} - \frac{x^6}{48} + O(x^8)$$
公式：$$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \quad e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$$
提示：注意 $e^{-\frac{x^2}{2}}$ 展开时，$u=-\frac{x^2}{2}$，平方项为 $\frac{x^4}{8}$，不要漏掉系数。
步骤 2/9
目标：计算两展开式的差并提取 $x^4$ 项系数
作差：
$$\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}} = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots\right) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8} + \cdots\right) = \left(\frac{1}{24} - \frac{1}{8}\right)x^4 + O(x^6)$$
计算系数：$\frac{1}{24} - \frac{1}{8} = \frac{1}{24} - \frac{3}{24} = -\frac{2}{24} = -\frac{1}{12}$
公式：$$\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}} = -\frac{1}{12}x^4 + O(x^6)$$
提示：前两项 $1$ 和 $-\frac{x^2}{2}$ 恰好抵消，这是本题的关键。
步骤 3/9
目标：代入极限并求值
将差式代入极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{12}x^4 + O(x^6)}{x^4} = -\frac{1}{12}$$
公式：$$\lim_{x \to 0} x^{-4}\left(\cos x - e^{-\frac{x^2}{2}}\right) = -\frac{1}{12}$$
提示：高阶无穷小 $O(x^6)$ 除以 $x^4$ 后趋于 $0$，不影响极限值。
步骤 4/9
目标：求两曲面的交线在 $xy$ 平面上的投影
令 $x^2 + y^2 = x + y$，移项并配方：
$$x^2 - x + y^2 - y = 0 \Rightarrow \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$$
投影区域 $D$ 为圆心 $(\frac12, \frac12)$，半径 $R = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 的圆盘。
公式：$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$$
提示：配方时注意常数项移到等式右边。
步骤 5/9
目标：确定上下曲面并建立体积积分
在圆心处，抛物面 $z = 0.5$，平面 $z = 1$，故平面在上，抛物面在下。体积为：
$$V = \iint_D \left[(x+y) - (x^2+y^2)\right] \mathrm{d}A$$
公式：$$V = \iint_D (x+y - x^2 - y^2) \, \mathrm{d}A$$
提示：判断上下曲面时，可取区域内任一点比较函数值。
步骤 6/9
目标：通过坐标平移简化被积函数和积分区域
令 $u = x - \frac12, v = y - \frac12$，则 $x = u+\frac12, y = v+\frac12$。被积函数化为：
$$x+y - (x^2+y^2) = (u+v+1) - \left[(u+\frac12)^2 + (v+\frac12)^2\right] = \frac12 - (u^2+v^2)$$
区域 $D$ 变为 $u^2+v^2 \le \frac12$。
公式：$$x+y - (x^2+y^2) = \frac12 - (u^2+v^2)$$
提示：平移后常数项和线性项恰好抵消，只剩下平方项和常数。
步骤 7/9
目标：用极坐标计算二重积分
令 $u = r\cos\theta, v = r\sin\theta$，$\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$，积分限 $0\le r\le 1/\sqrt{2}, 0\le\theta\le 2\pi$：
$$V = \int_0^{2\pi}\int_0^{1/\sqrt{2}} \left(\frac12 - r^2\right) r \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi \int_0^{1/\sqrt{2}} \left(\frac12 r - r^3\right) \mathrm{d}r$$
计算 $r$ 积分：$\left[\frac14 r^2 - \frac14 r^4\right]_0^{1/\sqrt{2}} = \frac18 - \frac1{16} = \frac1{16}$，乘以 $2\pi$ 得 $V = \frac{\pi}{8}$。
公式：$$V = 2\pi \cdot \frac{1}{16} = \frac{\pi}{8}$$
提示：注意 $r$ 的积分上限 $1/\sqrt{2}$ 不要写错。
步骤 8/9
目标：应用高斯散度定理将曲面积分转化为三重积分
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，其中 $P = xz^2, Q = x^2y - z^3, R = 2xy + y^2z$。计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = z^2, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = x^2, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = y^2$$
故 $\nabla \cdot \mathbf{F} = x^2 + y^2 + z^2$。由高斯定理，曲面积分等于半球体 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \le a^2, z\ge 0$ 上的三重积分：
$$\iint_S \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) \,\mathrm{d}V$$
公式：$$\nabla \cdot \mathbf{F} = x^2 + y^2 + z^2$$
提示：注意曲面 $S$ 取外侧，高斯定理直接适用。
步骤 9/9
目标：用球坐标计算三重积分
球坐标变换：$x = r\sin\theta\cos\phi, y = r\sin\theta\sin\phi, z = r\cos\theta$，体积元 $\mathrm{d}V = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$，被积函数 $x^2+y^2+z^2 = r^2$。积分区域：$0\le r\le a, 0\le\theta\le \frac{\pi}{2}, 0\le\phi\le 2\pi$。
$$\iiint_\Omega r^2 \cdot r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^{\pi/2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta \int_0^a r^4\,\mathrm{d}r$$
逐层积分：$\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi = 2\pi$，$\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 1$，$\int_0^a r^4\,\mathrm{d}r = \frac{a^5}{5}$。相乘得 $\frac{2\pi a^5}{5}$。
公式：$$\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) \,\mathrm{d}V = \frac{2\pi a^5}{5}$$
提示：注意 $\theta$ 的积分上限是 $\pi/2$ 而不是 $\pi$，因为只取上半球。
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