📝 华中师范大学 2026年数学分析真题

一．计算题．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} x^{-4}\left(\cos x-e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)$ ．
（2）求由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=x+y$ 所围成的立体图形的体积．
（3）计算曲面积分

$$
\iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $S$ 是由 $\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围立体的表面，取外侧为正向．

七．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上分别一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ，且存在正数列 $\displaystyle \left\{M_{n}\right\}$ ，使得当 $\displaystyle x \in I, n=1,2, \cdots$ 时，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M_{n},\left|g_{n}(x)\right| \leq M_{n}$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛．

三．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f^{\prime}(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f^{\prime}(x)$ 均存在．证明：
（1）$\displaystyle f(a+0)$ 和 $\displaystyle f(b-0)$ 都存在．
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，且一致连续．

九．设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| g(x, y)$ ，其中 $\displaystyle g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续．问：
（1）在什么条件下，$\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在？
（2）在什么条件下，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微？

二．解答如下问题：
（1）设 $L$ 为常数，$\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是严格递增的正无穷大数列，且与数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 一起满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=L$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=L$ ．
（2）设 $\displaystyle a_{1}=\sin a>0, a_{n+1}=\sin a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n a_{n}^{2}}=\frac{1}{3}$ ．

五．设 $\displaystyle f(x)$ 为有界闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的函数，且对任意的 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=0$ ．证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上至多存在有限个点 $x$ ，使得 $\displaystyle |f(x)| \geq \varepsilon$ ．
（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．

八．已知 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，通过 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数表示 $\displaystyle f(x+h)$ 的傅里叶系数．

六．判断 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^{p}(\ln n)^{q}(\ln \ln n)^{r}}$ 的玫散性．

十．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界且连续，若对任意的 $\displaystyle c \in \mathbb{R}$ ，函数 $\displaystyle f(x)-c$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上至多有有限个零点，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I=(0,+\infty)$ 上可导，且对任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in I$ 以及 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2} \in(0,1)$ ，有

$$
f\left(\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}\right) \leq \lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right) .
$$

其中 $\displaystyle \lambda_{1}+\lambda_{2}=1$ ．假设 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时，有 $\displaystyle f(x)=x^{2}+x^{2} \varepsilon(x)$ ，其中 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varepsilon(x)=0$ ．证明：
（1）对任意的 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ ，有 $\displaystyle \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \leq f^{\prime}(x) \leq \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, 0<h<\frac{x}{2}$ ．
（2）对任意的 $\displaystyle \eta>0$ ，当 $x$ 充分大时，有 $\displaystyle 2 x-h-\frac{\eta}{h} x^{2} \leq f^{\prime}(x) \leq 2 x+h+\frac{\eta}{h} x^{2}, 0<h<\frac{x}{2}$ ．