华中师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
九．设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| g(x, y)$ ，其中 $\displaystyle g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续．问：
（1）在什么条件下，$\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在？
（2）在什么条件下，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析偏导数存在的条件
由偏导数定义，$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。由于$f(0,0)=0$，$f(h,0)=|h|g(h,0)$，因此$\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \frac{|h|g(h,0)}{h}$。当$h>0$时，比值为$g(h,0)$；当$h<0$时，比值为$-g(h,0)$。要使极限存在，左右极限必须相等，即$\lim_{h\to 0^+} g(h,0) = \lim_{h\to 0^-} -g(h,0)$。由$g$的连续性，$\lim_{h\to 0} g(h,0)=g(0,0)$，因此左极限为$-g(0,0)$，右极限为$g(0,0)$，两者相等当且仅当$g(0,0)=0$。同理，$f_y(0,0)$存在也需$g(0,0)=0$。
公式：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{|h|g(h,0)}{h}$
提示：注意绝对值导致左右极限符号不同，需利用连续性比较。
步骤 2/6
目标：确定偏导数存在的充要条件
由上述推导，$f_x(0,0)$和$f_y(0,0)$都存在当且仅当$g(0,0)=0$，此时偏导数值均为0。
公式：$g(0,0)=0$
提示：偏导存在时，其值必为0。
步骤 3/6
目标：分析可微的条件
函数在$(0,0)$可微，则存在常数$A,B$使得$f(x,y)-f(0,0)-Ax-By = o(\sqrt{x^2+y^2})$。由(1)知，若偏导存在，则$A=f_x(0,0)=0$，$B=f_y(0,0)=0$。因此可微条件化为$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$。代入$f(x,y)=|x-y|g(x,y)$，即$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{|x-y|}{\sqrt{x^2+y^2}}g(x,y)=0$。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{|x-y|}{\sqrt{x^2+y^2}}g(x,y)=0$
提示：可微定义中线性部分由偏导决定。
步骤 4/6
目标：分析比值项的有界性
注意到$\frac{|x-y|}{\sqrt{x^2+y^2}}$在$(0,0)$附近有界：由不等式$|x-y|\le \sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}$，得$\frac{|x-y|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \sqrt{2}$。因此该比值不趋于0，但始终有界。
公式：$\frac{|x-y|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \sqrt{2}$
提示：有界性确保极限由$g$控制。
步骤 5/6
目标：推导可微的充要条件
由于$\frac{|x-y|}{\sqrt{x^2+y^2}}$有界，且$g$连续，则$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{|x-y|}{\sqrt{x^2+y^2}}g(x,y)=0$当且仅当$\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=0$，即$g(0,0)=0$。因此可微的充要条件也是$g(0,0)=0$。
公式：$\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)=g(0,0)=0$
提示：注意：有界因子乘以趋于0的量仍趋于0。
步骤 6/6
目标：总结结论
（1）$f_x(0,0)$和$f_y(0,0)$存在当且仅当$g(0,0)=0$，此时偏导均为0。（2）$f(x,y)$在$(0,0)$处可微当且仅当$g(0,0)=0$。
公式：无
提示：本题中偏导存在与可微条件相同。
步骤 7/7
目标：总结可微的充要条件
综合必要性和充分性，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微当且仅当 $g(0,0)=0$。
公式：可微 $\iff g(0,0)=0$
提示：注意此处可微条件与偏导数存在条件一致，但一般情形下偏导数存在不一定可微，这里由于 $|x-y|$ 的特殊结构，两者等价。
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