华中师范大学 2026年数学分析第0题

由于通项为正且单调递减（当 $n$ 足够大时），我们可以应用积分判别法。考虑广义积分： $$\int_{3}^{\infty} \frac{dx}{x^{p} (\ln x)^{q} (\ln \ln x)^{r}}$$ 该积分与级数 $\sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^{p}(\ln n)^{q}(\ln \ln n)^{r}}$ 具有相同的敛散性。

令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，$dx = e^t dt$。当 $x=3$ 时，$t = \ln 3$；当 $x \to \infty$ 时，$t \to \infty$。代入积分得： $$\int_{3}^{\infty} \frac{dx}{x^{p} (\ln x)^{q} (\ln \ln x)^{r}} = \int_{\ln 3}^{\infty} \frac{e^t dt}{(e^t)^p \, t^{q} \, (\ln t)^{r}} = \int_{\ln 3}^{\infty} e^{(1-p)t} \cdot \frac{1}{t^{q} (\ln t)^{r}} dt$$

积分中指数函数 $e^{(1-p)t}$ 起主导作用： - 若 $p > 1$，则 $1-p < 0$，指数衰减，无论 $t^{q}(\ln t)^{r}$ 如何变化，积分收敛，故级数收敛。 - 若 $p < 1$，则 $1-p > 0$，指数增长，积分发散，故级数发散。

当 $p=1$ 时，指数部分消失，积分化为： $$\int_{\ln 3}^{\infty} \frac{1}{t^{q} (\ln t)^{r}} dt$$ 再令 $u = \ln t$，则 $t = e^u$，$dt = e^u du$。当 $t = \ln 3$ 时，$u = \ln(\ln 3)$；当 $t \to \infty$ 时，$u \to \infty$。代入得： $$\int_{\ln(\ln 3)}^{\infty} \frac{e^u du}{(e^u)^q \, u^{r}} = \int_{\ln(\ln 3)}^{\infty} e^{(1-q)u} \cdot \frac{1}{u^{r}} du$$

再次利用指数函数的性质： - 若 $q > 1$，则 $1-q < 0$，指数衰减，积分收敛，级数收敛。 - 若 $q < 1$，则 $1-q > 0$，指数增长，积分发散，级数发散。 - 若 $q = 1$，则指数部分消失，积分化为： $$\int_{\ln(\ln 3)}^{\infty} \frac{1}{u^{r}} du$$ 这是标准的 $p$-积分形式，收敛当且仅当 $r > 1$，发散当 $r \le 1$。

综合以上分析，级数的敛散性结论如下： - 若 $p > 1$，收敛； - 若 $p < 1$，发散； - 若 $p = 1$： - 若 $q > 1$，收敛； - 若 $q < 1$，发散； - 若 $q = 1$： - 若 $r > 1$，收敛； - 若 $r \le 1$，发散。

综合以上讨论，级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^{p}(\ln n)^{q}(\ln \ln n)^{r}}$ 的敛散性如下： - 若 $p > 1$，收敛； - 若 $p < 1$，发散； - 若 $p = 1$： - $q > 1$ 时收敛； - $q < 1$ 时发散； - $q = 1$ 时，当 $r > 1$ 收敛，当 $r \le 1$ 发散。

综合以上讨论，级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^{p}(\ln n)^{q}(\ln \ln n)^{r}}$ 的敛散性如下： - 若 $p>1$，收敛； - 若 $p<1$，发散； - 若 $p=1$： - 若 $q>1$，收敛； - 若 $q<1$，发散； - 若 $q=1$： - 若 $r>1$，收敛； - 若 $r\le 1$，发散。