华中师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八．已知 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的可积函数，通过 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶系数表示 $\displaystyle f(x+h)$ 的傅里叶系数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾傅里叶系数的定义
对于一个以 $2\pi$ 为周期的可积函数 $f(x)$，其傅里叶级数可表示为：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \big( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \big)$$
其中三角形式的傅里叶系数为：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad n = 0,1,2,\dots$$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx, \quad n = 1,2,\dots$$
复数形式的傅里叶系数为：
$$c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-i n x} \, dx, \quad n \in \mathbb{Z}$$
此时傅里叶级数可写为：
$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n x}$$
公式：a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx, \quad c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-i n x} \, dx
提示：注意 $a_0$ 的定义中分母为 $\pi$，而常数项为 $\frac{a_0}{2}$，不要混淆。复数系数 $c_n$ 与三角系数 $a_n, b_n$ 的关系为 $c_n = \frac{a_n - i b_n}{2}$（$n>0$），$c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2}$。
步骤 2/6
目标：写出平移后函数 $f(x+h)$ 的傅里叶系数（复数形式）
设 $g(x) = f(x+h)$，其中 $h$ 是常数。$g(x)$ 的复数傅里叶系数为：
$$c_n^{(g)} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x) e^{-i n x} \, dx = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+h) e^{-i n x} \, dx$$
公式：c_n^{(g)} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+h) e^{-i n x} \, dx
提示：注意积分区间是 $[-\pi, \pi]$，因为 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，所以平移后函数仍以 $2\pi$ 为周期。
步骤 3/6
目标：通过变量代换化简积分
令 $t = x + h$，则 $x = t - h$，$dx = dt$。当 $x$ 从 $-\pi$ 到 $\pi$ 时，$t$ 从 $-\pi + h$ 到 $\pi + h$。由于 $f$ 以 $2\pi$ 为周期，积分区间可平移回 $[-\pi, \pi]$ 而不改变积分值，因此：
$$c_n^{(g)} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi + h}^{\pi + h} f(t) e^{-i n (t - h)} \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-i n t} e^{i n h} \, dt = e^{i n h} \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-i n t} \, dt$$
公式：c_n^{(g)} = e^{i n h} \cdot \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-i n t} \, dt = e^{i n h} c_n
提示：关键步骤：利用周期性将积分区间平移回标准区间 $[-\pi, \pi]$，并注意 $e^{-i n (t-h)} = e^{-i n t} e^{i n h}$。
步骤 4/6
目标：得到复数形式的结果
由第三步可知，$f(x+h)$ 的复数傅里叶系数 $c_n'$ 与原函数 $f(x)$ 的复数傅里叶系数 $c_n$ 的关系为：
$$c_n' = e^{i n h} c_n$$
其中 $c_n$ 是 $f(x)$ 的傅里叶系数。
公式：c_n' = e^{i n h} c_n
提示：这个结果非常简洁，表明平移在频域中相当于乘以一个相位因子 $e^{i n h}$。
步骤 5/6
目标：转化为三角形式
利用复数系数与三角系数的关系：$c_n = \frac{a_n - i b_n}{2}$，$c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2}$（$n \ge 1$），以及 $a_n^{(g)} = c_n^{(g)} + c_{-n}^{(g)}$，$b_n^{(g)} = i (c_n^{(g)} - c_{-n}^{(g)})$。代入 $c_n^{(g)} = e^{i n h} c_n$，$c_{-n}^{(g)} = e^{-i n h} c_{-n}$，得：
$$a_n^{(g)} = e^{i n h} \cdot \frac{a_n - i b_n}{2} + e^{-i n h} \cdot \frac{a_n + i b_n}{2}$$
$$b_n^{(g)} = i\left( e^{i n h} \cdot \frac{a_n - i b_n}{2} - e^{-i n h} \cdot \frac{a_n + i b_n}{2} \right)$$
利用欧拉公式 $e^{i n h} = \cos(nh) + i \sin(nh)$，$e^{-i n h} = \cos(nh) - i \sin(nh)$，化简得：
$$a_n^{(g)} = a_n \cos(nh) + b_n \sin(nh)$$
$$b_n^{(g)} = b_n \cos(nh) - a_n \sin(nh)$$
对于 $n=0$，有 $a_0^{(g)} = a_0$。
公式：a_n' = a_n \cos(nh) + b_n \sin(nh), \quad b_n' = b_n \cos(nh) - a_n \sin(nh)
提示：注意 $b_n^{(g)}$ 的符号：是 $b_n \cos(nh) - a_n \sin(nh)$，不要写成加法。推导时仔细处理复数运算。
步骤 6/6
目标：总结最终结果
因此，平移后函数 $f(x+h)$ 的傅里叶系数可以用原函数 $f(x)$ 的傅里叶系数表示为：
- 复数形式：$c_n' = e^{i n h} c_n$
- 三角形式：$a_n' = a_n \cos(nh) + b_n \sin(nh)$（$n \ge 0$），$b_n' = b_n \cos(nh) - a_n \sin(nh)$（$n \ge 1$）
公式：\boxed{a_n' = a_n \cos(nh) + b_n \sin(nh),\quad b_n' = b_n \cos(nh) - a_n \sin(nh)} \quad \text{或} \quad \boxed{c_n' = e^{i n h} c_n}
提示：注意 $a_0' = a_0$，因为 $\cos(0)=1$，$\sin(0)=0$，公式也成立。
步骤 7/7
目标：总结结果
因此，$f(x+h)$ 的傅里叶系数为：
\[ \boxed{a_n(h) = a_n \cos nh + b_n \sin nh, \quad b_n(h) = b_n \cos nh - a_n \sin nh, \quad a_0(h) = a_0.} \]
提示：注意结果中 a_n(h) 和 b_n(h) 的表达式与原始系数 a_n, b_n 的关系，类似于旋转。
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