华中师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle I=(0,+\infty)$ 上可导，且对任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in I$ 以及 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2} \in(0,1)$ ，有
$$
f\left(\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}\right) \leq \lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right) .
$$
其中 $\displaystyle \lambda_{1}+\lambda_{2}=1$ ．假设 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时，有 $\displaystyle f(x)=x^{2}+x^{2} \varepsilon(x)$ ，其中 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varepsilon(x)=0$ ．证明：
（1）对任意的 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ ，有 $\displaystyle \frac{f(x)-f(x-h)}{h} \leq f^{\prime}(x) \leq \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, 0<h<\frac{x}{2}$ ．
（2）对任意的 $\displaystyle \eta>0$ ，当 $x$ 充分大时，有 $\displaystyle 2 x-h-\frac{\eta}{h} x^{2} \leq f^{\prime}(x) \leq 2 x+h+\frac{\eta}{h} x^{2}, 0<h<\frac{x}{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：解读凸函数条件，确认函数性质
题目给出的不等式条件：对任意 $x_1, x_2 > 0$ 及 $\lambda_1, \lambda_2 \\in (0,1)$ 且 $\lambda_1+\\lambda_2=1$，有 $f(\\lambda_1 x_1 + \\lambda_2 x_2) \\le \\lambda_1 f(x_1) + \\lambda_2 f(x_2)$。这正是凸函数的Jensen不等式形式，因此 $f$ 在 $(0,+\\infty)$ 上是凸函数。又已知 $f$ 可导，故其导数 $f'(x)$ 单调递增。
公式：$f(\\lambda_1 x_1 + \\lambda_2 x_2) \\le \\lambda_1 f(x_1) + \\lambda_2 f(x_2)$
提示：凸函数的定义有多种等价形式，此处为Jensen不等式形式，注意 $\lambda_1+\\lambda_2=1$ 的条件。
步骤 2/6
目标：利用凸函数导数性质证明第(1)问
对于凸函数，若 $a < b < c$，则有斜率不等式：$\\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \\le f'(b) \\le \\frac{f(c)-f(b)}{c-b}$。取 $a = x-h$，$b = x$，$c = x+h$，并保证 $0 < h < \\frac{x}{2}$ 使得 $a > 0$，代入即得：$\\frac{f(x)-f(x-h)}{h} \\le f'(x) \\le \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。
公式：$\\frac{f(x)-f(x-h)}{h} \\le f'(x) \\le \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
提示：注意 $h$ 的取值范围保证 $x-h$ 仍在定义域内，这是凸函数导数单调性的直接应用。
步骤 3/6
目标：分析渐近条件并给出上下界估计
由条件 $f(x)=x^2+x^2\\varepsilon(x)$ 且 $\\lim_{x\\to+\\infty}\\varepsilon(x)=0$，则对任意 $\\eta>0$，存在 $X>0$，当 $x>X$ 时，有 $|\\varepsilon(x)|<\\eta$，从而 $x^2(1-\\eta) < f(x) < x^2(1+\\eta)$。同样地，对于 $x-h$ 和 $x+h$，当 $x$ 充分大时也有类似不等式。
公式：$x^2(1-\\eta) < f(x) < x^2(1+\\eta)$
提示：渐近估计中 $\\varepsilon(x)\\to 0$ 意味着 $f(x)$ 的主项是 $x^2$，高阶项可被任意小的 $\\eta$ 控制。
步骤 4/6
目标：代入第(1)问不等式左端，推导下界
由第(1)问，$f'(x) \\ge \\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$。为得到下界，取 $f(x)$ 尽可能小，$f(x-h)$ 尽可能大，即 $f(x) > x^2(1-\\eta)$，$f(x-h) < (x-h)^2(1+\\eta)$。代入得：\n$\\frac{f(x)-f(x-h)}{h} \\ge \\frac{x^2(1-\\eta) - (x-h)^2(1+\\eta)}{h}$。\n展开 $(x-h)^2 = x^2 - 2xh + h^2$，分子化简为 $-2\\eta x^2 + 2xh(1+\\eta) - h^2(1+\\eta)$，除以 $h$ 得：$2x(1+\\eta) - h(1+\\eta) - \\frac{2\\eta}{h}x^2$。由于 $\\eta$ 可任意小，可调整常数得到题目形式：$2x - h - \\frac{\\eta}{h}x^2$。
公式：$f'(x) \\ge 2x - h - \\frac{\\eta}{h}x^2$
提示：注意放缩方向：下界需取差的最小值，故用 $f(x)$ 下界减 $f(x-h)$ 上界；最终形式中的 $\\eta$ 系数可经重新定义吸收。
步骤 5/6
目标：代入第(1)问不等式右端，推导上界
由第(1)问，$f'(x) \\le \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。为得到上界，取 $f(x+h)$ 尽可能大，$f(x)$ 尽可能小，即 $f(x+h) < (x+h)^2(1+\\eta)$，$f(x) > x^2(1-\\eta)$。代入得：\n$\\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\le \\frac{(x+h)^2(1+\\eta) - x^2(1-\\eta)}{h}$。\n展开 $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$，分子化简为 $2\\eta x^2 + 2xh(1+\\eta) + h^2(1+\\eta)$，除以 $h$ 得：$2x(1+\\eta) + h(1+\\eta) + \\frac{2\\eta}{h}x^2$。同样调整常数得题目形式：$2x + h + \\frac{\\eta}{h}x^2$。
公式：$f'(x) \\le 2x + h + \\frac{\\eta}{h}x^2$
提示：上界放缩时取 $f(x+h)$ 上界减 $f(x)$ 下界，得到差的最大值；注意 $\\eta$ 的系数可合并。
步骤 6/6
目标：综合上下界，完成第(2)问证明
综合第4步和第5步的结果，对任意 $\\eta>0$，当 $x$ 充分大时，有 $2x - h - \\frac{\\eta}{h}x^2 \\le f'(x) \\le 2x + h + \\frac{\\eta}{h}x^2$，其中 $0 < h < \\frac{x}{2}$。这正是题目要求的不等式。
公式：$2x - h - \\frac{\\eta}{h}x^2 \\le f'(x) \\le 2x + h + \\frac{\\eta}{h}x^2$
提示：注意 $\\eta$ 的任意性：证明中实际得到的是 $2x(1+\\eta) \\pm h(1+\\eta) \\pm \\frac{2\\eta}{h}x^2$，通过重新定义 $\\eta$（如取 $\\eta' = 2\\eta$）可化为题目形式。
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