华中师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
七．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上分别一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ，且存在正数列 $\displaystyle \left\{M_{n}\right\}$ ，使得当 $\displaystyle x \in I, n=1,2, \cdots$ 时，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M_{n},\left|g_{n}(x)\right| \leq M_{n}$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和证明目标
已知：
1. 函数列 $\{f_n(x)\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛于 $f(x)$。
2. 函数列 $\{g_n(x)\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛于 $g(x)$。
3. 存在正数列 $\{M_n\}$，使得对任意 $x \in I$ 和任意正整数 $n$，有 $|f_n(x)| \le M_n$，$|g_n(x)| \le M_n$。
要证明：$\{f_n(x)g_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f(x)g(x)$。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in I} |f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x)| = 0
提示：注意一致收敛的定义是上确界趋于0，而不是逐点收敛。
步骤 2/6
目标：证明极限函数有界
由于 $f_n \rightrightarrows f$，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，对所有 $x \in I$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < 1$。固定 $n = N_1+1$，则 $|f(x)| \le |f_{N_1+1}(x)| + 1 \le M_{N_1+1} + 1$，因此 $f$ 在 $I$ 上有界。同理，$g$ 在 $I$ 上也有界。记 $C_1 = \sup_{x\in I} |f(x)|$，$C_2 = \sup_{x\in I} |g(x)|$，它们均为有限数。
公式：|f(x)| \le M_{N_1+1} + 1, \quad |g(x)| \le M_{N_2+1} + 1
提示：这里利用了固定一个足够大的 $n$ 来得到 $f$ 和 $g$ 的整体有界性，而不是依赖 $M_n$ 的全局上界。
步骤 3/6
目标：利用一致收敛性获得函数列的一致有界性
因为 $g_n \rightrightarrows g$，取 $\varepsilon = 1$，存在 $N_3$，当 $n > N_3$ 时，对所有 $x \in I$ 有 $|g_n(x) - g(x)| < 1$，从而 $|g_n(x)| \le |g(x)| + 1 \le C_2 + 1$。同理，存在 $N_4$，当 $n > N_4$ 时，$|f_n(x)| \le C_1 + 1$。令 $N_0 = \max(N_3, N_4)$，则当 $n > N_0$ 时，对所有 $x \in I$，有 $|f_n(x)| \le C$ 且 $|g_n(x)| \le C$，其中 $C = \max(C_1, C_2) + 1$。同时，$|f(x)| \le C$，$|g(x)| \le C$。
公式：|f_n(x)| \le C, \quad |g_n(x)| \le C, \quad \forall n > N_0, \forall x \in I
提示：这里的关键是当 $n$ 充分大时，$f_n$ 和 $g_n$ 可以被同一个常数 $C$ 控制，这个常数不依赖于 $n$。
步骤 4/6
目标：分解差值并利用三角不等式进行估计
对于任意 $x \in I$ 和 $n > N_0$，有：
\[
|f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x)| = |f_n g_n - f_n g + f_n g - f g| \le |f_n(x)||g_n(x)-g(x)| + |g(x)||f_n(x)-f(x)| \le C|g_n(x)-g(x)| + C|f_n(x)-f(x)|.
\]
公式：|f_n g_n - f g| \le C|g_n - g| + C|f_n - f|
提示：利用 $|f_n| \le C$ 和 $|g| \le C$ 将乘积项分离，便于后续用一致收敛性控制。
步骤 5/6
目标：利用一致收敛性控制误差项
对任意 $\varepsilon > 0$：
- 由 $f_n \rightrightarrows f$，存在 $N_1$，当 $n > N_1$ 时，对所有 $x \in I$ 有 $|f_n(x)-f(x)| < \frac{\varepsilon}{2C}$。
- 由 $g_n \rightrightarrows g$，存在 $N_2$，当 $n > N_2$ 时，对所有 $x \in I$ 有 $|g_n(x)-g(x)| < \frac{\varepsilon}{2C}$。
取 $N = \max(N_0, N_1, N_2)$，则当 $n > N$ 时，对所有 $x \in I$，有：
\[
|f_n g_n - f g| \le C \cdot \frac{\varepsilon}{2C} + C \cdot \frac{\varepsilon}{2C} = \varepsilon.
\]
公式：\sup_{x\in I} |f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x)| \le \varepsilon, \quad \forall n > N
提示：注意 $N_0$ 保证了 $C$ 的存在性，$N_1$ 和 $N_2$ 分别控制 $f_n$ 和 $g_n$ 的逼近误差，三者取最大即可。
步骤 6/6
目标：得出结论
由一致收敛的定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$\sup_{x\in I} |f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x)| \le \varepsilon$，即 $\{f_n(x)g_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f(x)g(x)$。
公式：\lim_{n\to\infty} \sup_{x\in I} |f_n(x)g_n(x) - f(x)g(x)| = 0
提示：证明完成，注意这里的关键是先用一致收敛性得到 $f_n$ 和 $g_n$ 在 $n$ 充分大时的一致有界性。
步骤 7/8
目标：完成 Cauchy 估计
当 $m,n > N$ 时，对所有 $x \in I$，有
\[
|f_n g_n - f_m g_m| \leq |f_n| \cdot |g_n - g_m| + |f_n - f_m| \cdot |g_m| \leq C \cdot \varepsilon + \varepsilon \cdot C = 2C\varepsilon.
\]
由于 $\varepsilon$ 任意小，且 $C$ 是固定常数（依赖于 $N_0$ 和 $\varepsilon$，但 $\varepsilon$ 可先取定再调整），因此 $\{f_n g_n\}$ 一致 Cauchy，从而一致收敛。
公式：$|f_n g_n - f_m g_m| < 2C\varepsilon$
提示：注意 $C$ 依赖于 $\varepsilon$，但这是允许的：先取 $\varepsilon$，再确定 $N$，$C$ 随之固定，最终 $2C\varepsilon$ 可以任意小。
步骤 8/8
目标：总结证明结论
由一致 Cauchy 准则，$\{f_n(x)g_n(x)\}$ 在 $I$ 上一致收敛。由于 $f_n(x) \to f(x)$，$g_n(x) \to g(x)$ 逐点成立，故极限函数必为 $f(x)g(x)$。因此 $f_n(x)g_n(x) \rightrightarrows f(x)g(x)$。
公式：$f_n g_n \rightrightarrows fg$
提示：一致收敛的极限函数唯一，且与逐点极限一致。
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